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Solutions des exercices
1
i) Si f est l'application nulle sur [a, , bj , on a N 2 (f) = (I: 0 2 dt )
2
= O. Inversement, supposons que f E et ((a, b], JR) soit telle que N 2 (f) = 0; on
a alors J: /f(t) l 2 dt = O. Comme f est continue sur (a, b] , l'application
g : x E [a, b] 1--+ /f(x)/ 2 est continue et à valeurs positives ; la relation
J: /f(t)/ 2 dt = 0 implique < 101 > alors que g est l'application nulle. On en
déduit que f est elle-même l'application nulle.
ii) Il résulte des propriétés de l'intégrale de Riemann que pour tout
f E et([a, b] , JR) et pour tout À E lR. on a,
iii) Pour tout (f, g) E et([a, bj,JR) x et((a, b] ,JR) on a
En utilisant la relation ) a + (3 � fo + ViJ valable pour tout (a, (3) E
lR+ x lR+ , on en déduit que
1
1
N 2 (f + g) � (1 b /f(t)/ 2 dt )
2 + (1 b /g(t)/ 2 dt )
2 = N 2 (f) + N 2 (g).
b) Comme N 2 est une norme sur e 1 ((a, b] , JR) et que E est un sous-espace
vectoriel de e 1 ([a, b] , JR), N 2 est aussi une . norme sur E. On peut remarquer
qu'en ce qui concerne l'application N� , les conditions ii) et iii) ont une justification en tout point analogue. Intéressons-nous à la condition i) .
1
Si f est l'application nulle sur [a, b) , on a N� (f) = (J: 0 2 dt)
2
= O. Inversement, supposons que f E et ([a, b], JR) soit telle que N� (f) = 0; on a alors
J: /f'(t)/ 2 dt O. Comme f' est continue sur [a, b] , l'application
g : x E [a, b] 1--+ /!' (x) / 2 est continue et à valeurs positives ; la relation
J: g(t) dt = J: /f'(t)/ 2 dt = 0 implique < 101 > alors que g est l'application nulle.
On en déduit que f' est elle-même l'application nulle ce qui permet d'affirmer que f est une application constante sur [a, b) , mais pas nécessairement
l'application nulle.
(lal) Voir la proposition 18.5 p. 844 du Cours de première année.