Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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On en conclut que N est bien une norme sur E = {f E C 1 ([0, 1], JR) / f(O) = O}.
2 - a) Considérons une suite de Cauchy (fn)n dans (E, N) ; on a:
Ve EIR� 3N EN V(m, n) EN 2 (m?n?N =} N(fn - fm)�e) ,
ce qui implique que
Ve E IR� 3N EN V(m, n) E N 2
(m? n? N ==} sup /fn(x) - fm (x)/ � e)
(l5)
xE( 0 ,1]
et que
Ve E IR� 3N EN V(m, n) E N 2
(m? n? N ==} sup /f � (x) - J:,, (x)/ � e) .
(l6)
xE( 0 ,1]
On déduit de l'assertion (15) que la suite Un )n est une suite de Cauchy dans
(C 0 ([0, 1], IR), Il · 1/00 ) qui est complet donc que la suite (fn)n converge vers un
élément f E C 0 ([0, 1], IR) pour la norme / / · l / oo·
b) On déduit par ailleurs de l'assertion (16) que la suite (f�)n est une suite
de Cauchy dans (C 0 ((0, 1], IR), Il · 1 /00) qui est complet donc que la suite (f�)n
converge vers un élément g E C 0 ([0, , 1], IR) pour la norme l / · / 100 •
Pour montrer que (E, N) est un espace vectoriel normé complet, il faut montrer
que la suite (f n)n converge pour la norme N vers un élément de E. Si on vérifie
que f' = g et que f(O) = 0 alors on pourra d'une part conclure à l'appartenance
de f à E et d'autre part affirmer que la suite Un )n converge pour la norme N
car on a
N(fn - f) = l /fn - f l / oo + / If� - f ' l / oo ·
To ut d'abord, la suite Un)n converge uniformément vers f sur [O, 1], donc en
particulier la suite converge simplement en 0 vers f(O). Puisque pour tout
n EN on a f n(O) = 0, on en déduit que f (0) =O. Par ailleurs, les fonctions f n
sont de classe C 1 sur [O, 1], la suite Un )n converge simplement en 0 et la suite
(f�)n converge uniformément sur [O, 1]. Il résulte du théorème 2.5 p. 92 que la
fonction f est de classe C 1 sur [O, 1] et que g = f'.
SOLUTION DE L'EXERCICE 7.16
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1 - a) I\tfontrons que l'application N 2 : f E C 1 ([a, b] ,JR) � (J: /f(t)/ 2 dt) 2 est
une norme sur C 1 ([a, b] , !R). Cette application est clairement à valeurs positives.