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Solutions des exercices
autrement dit, que la suite (xn)n converge vers R dans (E, d).
SOLUTION DE L'EXERCICE 7.14
Commençons par montrer que la suite Un)n est une suite de Cauchy dans
(C 0 ([ü, l], JR.), 1111 2 ). Soient c un réel strictement positif fixé et m, n deux entiers
naturels tels que n � m. On a
d 2 (fn, fm) 2 = 1
1 Un (x) - fm(x)) 2 dx = l
! + f,; Un (x) - fm (x)) 2 dx
2
= 1
! + f,;
fm(x) 2 dx + 1
! + !;
fn (x) 2 dx - 2 1
! + !.
fm(x) fn (x) dx
2
,
2
= m 2 h
! + fn
( X
- � + � r dx + n 2 h
! + �
( X - � + � r dx
l + .1
( 1 1 ) ( 1 1 )
- 2mn 1
2
n
X - 2 + m
X - 2 + ;:; dx
2
7
7
5m + 9n 14
= - +-� -.
3n 3m
6n 2
3m
On en déduit que d 2 (f n , f m) � c pour tout (m, n) E N 2 avec n ? m ? N où
N = E(�) + 1.
La suite Un)n converge simplement sur [ü, l] vers l'application f définie par
f(x) = 1 si x E [O, !J et f(x) = 0 si x E]!, l]. L'application f n'est pas continue
sur [O, l] ; toutefois, elle est Riemann-intégrable sur [O, l] car elle est continue
par morceaux. Pour tout n E .N, on a:
llfn - fil� = 1
1 Un (t) - f(t)) 2 dt = n 2 h
! + !;
( t - � + �)
2
dt = 3
:
ce qui implique que limn__,+oo li! n - f 11 2 = O. On en déduit que la suite Un )n
converge dans ('RI([O, l], JR.), Il · 11 2 ) vers f. Comme C 0 ([0, l], IR.) est un sousespace vectoriel de 'RI([O, l]), si Un)n convergeait dans (C 0 ([0, l], IR.), li · 11 2 ) ce
serait nécessairement vers f. Puisque f n'est pas continue sur [O, l], on en déduit
que la suite Un)n ne converge pas dans (C 0 ([0, l], JR.), I l · 11 2 ) et par conséquent
que (C 0 ([0, 1], IR.), li · 11 2 ) n'est pas un espace de Banach.
SOLUTION DE L'EXERCICE 7.15
1 - Remarquons que l'on a N(f) = llf lloo + llf ' lloo pour tout f E E. On en
déduit que N(f) ? 0 pour tout f E E. Par ailleurs, si N(f) = 0 alors llflloo = 0
et llf ' lloo =O. Comme li · 1100 est une norme sur C 1 ([0, l], IR.), il en résulte que
f = O. De plus, le fait que I l · 1100 soit une norme implique que pour tout
(J, g) E E 2 et pour tout >. E IR., on a
N(>.f) = llVll oo + ll ( V ) ' lloo = l>-lll fl l oo + i>-lll ! ' ll oo = l>-I N(f);
N(f + g) = llJ + g JJoo + JJ (f + g) ' lloo = llJ + g JJoo + llJ ' + g ' Jloo
� ll fll oo + JJ g JJoo + I J J ' lloo + JJ g ' JJoo = N( J ) + N(g) .
Solutions des exercices
autrement dit, que la suite (xn)n converge vers R dans (E, d).
SOLUTION DE L'EXERCICE 7.14
Commençons par montrer que la suite Un)n est une suite de Cauchy dans
(C 0 ([ü, l], JR.), 1111 2 ). Soient c un réel strictement positif fixé et m, n deux entiers
naturels tels que n � m. On a
d 2 (fn, fm) 2 = 1
1 Un (x) - fm(x)) 2 dx = l
! + f,; Un (x) - fm (x)) 2 dx
2
= 1
! + f,;
fm(x) 2 dx + 1
! + !;
fn (x) 2 dx - 2 1
! + !.
fm(x) fn (x) dx
2
,
2
= m 2 h
! + fn
( X
- � + � r dx + n 2 h
! + �
( X - � + � r dx
l + .1
( 1 1 ) ( 1 1 )
- 2mn 1
2
n
X - 2 + m
X - 2 + ;:; dx
2
7
7
5m + 9n 14
= - +-� -.
3n 3m
6n 2
3m
On en déduit que d 2 (f n , f m) � c pour tout (m, n) E N 2 avec n ? m ? N où
N = E(�) + 1.
La suite Un)n converge simplement sur [ü, l] vers l'application f définie par
f(x) = 1 si x E [O, !J et f(x) = 0 si x E]!, l]. L'application f n'est pas continue
sur [O, l] ; toutefois, elle est Riemann-intégrable sur [O, l] car elle est continue
par morceaux. Pour tout n E .N, on a:
llfn - fil� = 1
1 Un (t) - f(t)) 2 dt = n 2 h
! + !;
( t - � + �)
2
dt = 3
:
ce qui implique que limn__,+oo li! n - f 11 2 = O. On en déduit que la suite Un )n
converge dans ('RI([O, l], JR.), Il · 11 2 ) vers f. Comme C 0 ([0, l], IR.) est un sousespace vectoriel de 'RI([O, l]), si Un)n convergeait dans (C 0 ([0, l], IR.), li · 11 2 ) ce
serait nécessairement vers f. Puisque f n'est pas continue sur [O, l], on en déduit
que la suite Un)n ne converge pas dans (C 0 ([0, l], JR.), I l · 11 2 ) et par conséquent
que (C 0 ([0, 1], IR.), li · 11 2 ) n'est pas un espace de Banach.
SOLUTION DE L'EXERCICE 7.15
1 - Remarquons que l'on a N(f) = llf lloo + llf ' lloo pour tout f E E. On en
déduit que N(f) ? 0 pour tout f E E. Par ailleurs, si N(f) = 0 alors llflloo = 0
et llf ' lloo =O. Comme li · 1100 est une norme sur C 1 ([0, l], IR.), il en résulte que
f = O. De plus, le fait que I l · 1100 soit une norme implique que pour tout
(J, g) E E 2 et pour tout >. E IR., on a
N(>.f) = llVll oo + ll ( V ) ' lloo = l>-lll fl l oo + i>-lll ! ' ll oo = l>-I N(f);
N(f + g) = llJ + g JJoo + JJ (f + g) ' lloo = llJ + g JJoo + llJ ' + g ' Jloo
� ll fll oo + JJ g JJoo + I J J ' lloo + JJ g ' JJoo = N( J ) + N(g) .