Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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Si on suppose que la suite (xn)n converge vers f dans (E, d), alors en vertu du
théorème d'encadrement, on obtient limn--++oo d(yn , f) = O. Cela signifie que la
suite (Yn)n converge vers e dans (E, d).
SOLUTION DE L'EXERCICE 7.13
1 - Considérons une suite (xn)n de Cauchy dans (E, d) et montrons que cette
•
.
•
(100)
smte est bornée, i.e. montrons que
3e E E 3K E JR + 'tin EN d(xn, e) � K.
D'après la définition 7.20 (on prend e = 1),
3N EN Vn EN Vm EN ((n ;;::: N et m ;;::: N) ===} d(xn, Xm)�l) .
On en déduit en prenant m = N que pour tout n E N avec n ;;::: N,
Par ailleurs, pour n E N avec n < N on a
d(xn, xo) � M où M = max d(xk, xo).
k= i , .. . ,N - i
En posant e = xo et K = max( d( xo , x N) + 1, M), on obtient que pour tout
n EN, d(xn, xo) � K, ce qui signifie que la suite (xn)n est bornée.
2 - Soit (xn)n une suite de Cauchy dans (E, d) possédant une sous-suite convergente. D'après la définition 7.20,
Vei E IR� 3Ni E N Vn E N Vm E N
( (n � Ni et m ;;::: Ni ) ===} d(xn , Xm) � ei).
(13)
Par hypothèse, la suite (xn)n possède une sous-suite (x h ( n ) )n qui converge. En
désignant par f, E Ela limite de cette sous-suite, on a d'après la définition 7.16,
Considérons un réel strictement positif e fixé et prenons ei = e/2 dans (13) et
e 2 = e/2 dans (14). Pour tout n EN avec n ;;::: N où N = max{ Ni , N 2 }, on a
h(n) � n � N car h est une extractrice. Par ailleurs, en utilisa.nt la première
inégalité triangulaire et les assertions (13) et (14), on obtient :
d(Xn, f) � d(Xn, Xh ( n ) ) + d(X h ( n ) > f) � E:.
,,,_ __., ...._ __,_ __.,
� e/2
� e/2
On a donc montré que
(100) Voir la définition 7.17 p. 392.