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Solutions des exercices
Cette suite converge dans (C 0 ([a, b], IR), d 1 ) vers la fonction nulle car
f
1
1
di ( î/J n,O) = l a
17/Jn(x)I dx = 2 Vn
,
donc limn-++oo d 1 ( 7/J n ,O) =O. Par contre, on a
{
1
r
l/ n
{
1/ n
d 2 ( 7/J n , 0) 2 = l a
7/J � (x) dx = l a
7/J � (x) dx = l a
(-n � x + .Jiî,) 2 dx
[ 1 �
3] 1/ n 1
= -- 3 (-n2 x + vn)
= -,
3n2
a
3
donc limn-++oo d 2 (1/Jn, 1/J) -::/: 0, ce qui signifie que la suite (1/Jn)n ne converge pas
vers la fonction nulle dans (Ca([o, 1], IR), d 2 ).
SOLUTION DE L'EXERCICE 7.12
1 - Pour montrer que la suite (Yn)n est de Cauchy dans (E, d), il s'agit de
d'établir l'assertion suivante :
Vé E IR� 3N EN V(m, n) E N 2 (n ?: m?: N ==? d(yn , Ym) � é ) . (11)
Soit é un réel strictement positif et m, n deux entiers naturels ; on a en vertu
de l'inégalité triangulaire :
Par hypothèse, la suite (xn)n est de Cauchy dans (E, d) donc
Par ailleurs, la suite (xn)n de terme général Xn = l/n converge dans lR muni
de la distance euclidienne vers 0, donc
On en déduit que si me t n sont choisis tels que n ?: m ?: N = max(N 1 , N 2 )
alors d'après (12) on a d(yn , Ym) � 3 !é = é. Oh a donc établi l'assertion (11).
2 - Compte tenu du rôle identique joué par les suites (xn)n et (Yn)n (elles sont
toutes les deux des suites de Cauchy et l'hypothèse « Ya = xa et pour tout
n E N* on ait d(xn, Yn) � l/n » donne le même rôle à (xn)n et (Yn)n), pour
montrer que la suite (xn)n converge vers e dans (E, d) si et seulement si la
suite (Yn)n converge vers e dans (E, d), il suffit de montrer que si la suite (xn)n
converge vers e dans (E, d) alors la suite (Yn)n converge vers e dans (E, d).
Pour tout n EN, compte tenu de l'inégalité triangulaire, on obtient