Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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On en déduit que pour tout n E N, on aü :::; ; d 2 (fn, f) :::; ; ..;r;=G, d00 (fn, f).
Comme la suite Un )n converge uniformément vers f E C 0 ([a, b], IR), on a
limn---+ +oo d00 (fn, f) = 0 et le théorème d'encadrement permet de conclure que
limn__,+00 d 2 (f n , f) = 0, autrement dit que la suite Un )n converge vers f dans
(C 0 ([a, b] , IR), d 2 ) ·
La réciproque est fausse. Considérons la suite de fonctions ( général
si x E [0, 1/n 2 ]
si x E)l/n 2 , 1)
Cette suite converge dans (C 0 ([a, b] , IR), d 2 ) vers la fonction nµlle car
r
l
r
l/ n2
r
l/ n2
d 2 ( = [- 3 � � (-n � x+Jn)3]: / n 2
3 �'
donc lim d 2 ( n �+�
'
et cette quantité ne tend pas vers 0 quand n tend vers +oo. La suite ( converge donc pas vers la fonction nulle dans (C 0 ([a, b] , IR), d00).
b) On a vu que la suite ( pour la distance d 2 . Elle converge simplement vers la fonction nulle sur JO, 1]
mais ne converge pas simplement en 0 puisque pour tout n EN on a et la suite numérique réelle ( vn)n diverge.
2 - Supposons que la suite Un )n converge vers f dans (C 0 ((0, 1), IR), d 2 ); on a
( b
) 1/ 2
lim d 2 (fn, f) = lim 1 (fn (x) - f(x)) 2 dx = O.
� ---> +oo
n ---+ +oo a
En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz(ooJ, on obtient pour tout n E N,
( b
) 2 b b
0 :::; ; 1 lfn(x) - f(x) I dx :::; ; 1 1 dx X 1 (fn (x) - f(x)) 2 dx
= (b - a) d� (fn , f).
Le théorème d'encadrement permet de déduire de cette inégalité que
limn__, +00 d 1 Un , f), autrement dit que la suite Un )n converge vers f dans
(C 0 ((0, 1), IR), d 1 ).
La réciproque est fausse. Considérons la suite de fonctions ('l/Jn)n de terme
général
{ -nh + vn
'l/Jn : X E (0, 1) �
Ü
si x E [0, 1/n]
si x E)l/n, 1]
(99) Vo ir la proposition 18.6 p. 846 du Cours de première année.