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Solutions des exercices
b) Réciproquement, montrons que si A = A alors A est fermé (autrement
dit CEA est ouvert), ou, de manière équivalente<98l, montrons que si CEA n'est
pas ouvert alors A f- A. On a les équivalences suivantes :
CEA n'est pas ouvert {==: ::} non (\ix E CEA 3r E JR.+ B(x, r) c CEA)
{==: ::} non (Vx E CEA 3r E JR.+ \iy E B(x, r) y E CEA )
{==: ::} :lx E CEA \fr E JR.+ 3y E B(x, r) y� CEA
{==: ::} :lx E CEA \fr E JR.+ 3y E B(x, r ) y E A
{==: ::} :lx E CEA x E A.
Ainsi si CEA n'est pas ouvert alors il existe un élément x appartenant à A mais
pas à A ; cela signifie que A f- A. On en conclut que si A = A alors A est fermé.
On a donc établi l'équivalence,
�
I A
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e
_
s
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_
A
�
. ,
SOLUTION DE L'EXERCICE 7.10
Montrons que si A et B sont denses dans E et si A est ouvert alors A n B est
dense dans E. D'après la définition 7.10, il s'agit de montrer que
\ix E E \fr E JR.+ 3y E (AnB) d(x, y) < r,
(10)
Soit x un élément de E et r un réel strictement positif ; comme A est dense
dans E, il existe y E A tel que d(x, y) < r, i.e. tel que y E An B(x, r).
Puisque A et B(x, r) sont des ouverts, An B(x, r) est un voisinage de y (un
ensemble ouvert est voisinage de chacun de ses points) et par conséquent, il
existe un réel strictement positif r' tel que B(y, r') CA n B(x, r). Or B étant
dense dans E, il existe y' E B tel que y' E B(y, r'). Cet élément y' appartient à
B et à B(y, r'), donc à B et à A et à B(x, r). On a par conséquent y' E An B
et d(x, y') < r. L'assertion (10) est démontrée et on peut conclure que si A et
B sont denses dans E et si A est ouvert alors An B est dense dans E.
SOLUTION DE L'EXERCICE 7.11
1-a) Supposons que la suite Un )n converge uniformément vers f E c 0 ([a, b], JR.),
autrement dit qu'elle converge vers f pour la distance
d oo : (f, g) E c 0 ((a, b],JR.) X C 0 ([a, bJ,JR.) f--- -- --7 sup lf(x) - g(x)I
xE[a,b)
et montrons qu'elle converge vers f pour la distance d 2 • Pour tout n E N, on a
d 2 (fn, !) 2 = 1
b (fn(x) - f(x)) 2 dx
=(b - a) d00 (fn, !) 2 .
l
b
2
::::;
( sup lfn (Y) - f(y)I) dx
a yE[a,b)
<95> n s 'agit de la contraposée de l'assertion à démontrer, voir la proposition 1.2 p. 10 du
Cours de première année.