Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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2 - Soient A = (aij h,,;; i,,;; n,1,,;; j,,;; m et B = (bij )i,,;; i,,;; n,1,,;; j,,;; m deux matrices de
Mm,n(lK) et C = A x B. Les coefficients Cij , (i,j) E {1, ... , n} 2 de la matrice C
sont données par <96> : Cij = L:Z =l ai k b k j · On a Ns (A x B) 2 = 2:: � 1 L: ?=1 l ci i l 2
et d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz <97> ,
On en déduit que
n n
i=l j=l
(� l ai k l 2 ) (� l b ki 1 2 )
�
indépendant de j
(t, t, l �• I ') (t, t, l b •; 1 ' )
SOLUTION DE L'EXERCICE 7.9
1 - Soit x un élément quelconque de A ; pour tout r E R+ le point x appartient
à B(x, r) et il appartient A; on a donc x E A. On en déduit que A c A. Il
n'y a toutefois pas égalité de ces ensembles car par exemple dans R muni de la
distance usuelle, l'ensemble A= [O, 1[ a pour adhérence [O, 1] donc A"!= A.
2 - a) Montrons que si A est fermé alors A c A ou compte tenu de la première
question que A = A. Supposons que A est fermé, autrement dit supposons
que CEA est ouvert. Pour montrer que A C A, raisonnons par l'absurde et
supposons que que cette inclusion n'a pas lieu : il existe donc un élément x0 E A
qui n'appartient pas à A (autrement dit qui appartient à CEA). D'après la
définition 7.9, puisque xo E A
'Vr ER � 3y E B(xo , r) n A.
(9)
Comme par hypothèse l'ensemble CEA est ouvert, il existe r ' E R+ tel que
B(xo, r ' ) c CEA. Cela constitue une contradiction avec l'assertion (9) : il
n'existe pas d'élément y de l'ensemble A dans la boule B(x0 , r ' ). On en conclut
que si A est fermé alors A c A.
<96> Voir la définition 10.8 p. 398 du Cours de premièJ'e année.
<97> Voir la proposition 3.6 p. 101 du Cours de première année pour le cas où lK = IR; on
établit de la même manière l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans le cas où lK = C.
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2 - Soient A = (aij h,,;; i,,;; n,1,,;; j,,;; m et B = (bij )i,,;; i,,;; n,1,,;; j,,;; m deux matrices de
Mm,n(lK) et C = A x B. Les coefficients Cij , (i,j) E {1, ... , n} 2 de la matrice C
sont données par <96> : Cij = L:Z =l ai k b k j · On a Ns (A x B) 2 = 2:: � 1 L: ?=1 l ci i l 2
et d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz <97> ,
On en déduit que
n n
i=l j=l
(� l ai k l 2 ) (� l b ki 1 2 )
�
indépendant de j
(t, t, l �• I ') (t, t, l b •; 1 ' )
SOLUTION DE L'EXERCICE 7.9
1 - Soit x un élément quelconque de A ; pour tout r E R+ le point x appartient
à B(x, r) et il appartient A; on a donc x E A. On en déduit que A c A. Il
n'y a toutefois pas égalité de ces ensembles car par exemple dans R muni de la
distance usuelle, l'ensemble A= [O, 1[ a pour adhérence [O, 1] donc A"!= A.
2 - a) Montrons que si A est fermé alors A c A ou compte tenu de la première
question que A = A. Supposons que A est fermé, autrement dit supposons
que CEA est ouvert. Pour montrer que A C A, raisonnons par l'absurde et
supposons que que cette inclusion n'a pas lieu : il existe donc un élément x0 E A
qui n'appartient pas à A (autrement dit qui appartient à CEA). D'après la
définition 7.9, puisque xo E A
'Vr ER � 3y E B(xo , r) n A.
(9)
Comme par hypothèse l'ensemble CEA est ouvert, il existe r ' E R+ tel que
B(xo, r ' ) c CEA. Cela constitue une contradiction avec l'assertion (9) : il
n'existe pas d'élément y de l'ensemble A dans la boule B(x0 , r ' ). On en conclut
que si A est fermé alors A c A.
<96> Voir la définition 10.8 p. 398 du Cours de premièJ'e année.
<97> Voir la proposition 3.6 p. 101 du Cours de première année pour le cas où lK = IR; on
établit de la même manière l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans le cas où lK = C.