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Solutions des exercices
L'application N sera une norme si A x = 0 <=> x = O. Or A x signifie que x
appartient au noyau de A. Donc pour que l'on ait obligatoirement x = 0, il
faut que Ker(A) soit égal à {O} . Cette condition équivaut <95J à ce que A soit
une matrice inversible.
En conclusion, l'application N : X E oc n f-+ l/A xll est une norme sur oc n si et
seulement si A est une matrice inversible.
SOLUTION DE L'EXERCICE 7.8
1 - a) L'application Ni est clairement à valeurs positives. Il est par ailleurs
immédiat, d'après la définition de l'application Ni , que d'une part Ni (A) = 0
si et seulement si A est la matrice nulle et que d'autre part pour tout À E OC
on a Ni (.XA) = l.XI Ni (A). Soient A = ( % ) i , j et B = (bii k i deux matrices de
Mm,n(IK) ; on a
n
Ni (A + B) = max (L 1 % + biJ I ) ·
1,,;3,.;m .
i= i
Pour tout (i,j) E .N 2 on a la ij + bi il � la i il + l bi il et par conséquent
n
n
n
n
/j = I:: 1 a ij + bij1 � I:: ( 1%1 + l bij n = I:: 1%1 + I:: l bij1 .
i= i
i= i
i= i
i= i
"-v--' .... ._ _.,_ _. ..
= O'.j = /3 j
On peut remarquer que : max ( O'.j + /3 j ) � max a. i + max f3J , ce qui entraîne
i is;; j,,;m
i is;; jis; ; m i is;; jis; ; m
que :
On en déduit que Ni (A + B) � Ni (A) + Ni(B). On a donc établi que l'application Ni est une norme sur Mn(IK).
b) Pour montrer que Nxo est une norme sur Mn(IK), on peut remarquer
que pour tout A E Mn(IK) on a N00 (A) = Ni (AT). On en déduit que N00
est bien à valeurs positives et que N00 (A) = 0 si et seulement si A T est la
matrice nulle autrement dit si et seulement A = O. Par ailleurs, pour tout
.X E OC on a N00 (.XA) = Ni(>.A T ) = l.XI Ni(A T ) = l.XI N00 (A). Enfin, pour
toutes matrices A et B de Mm,n(OC) on a
Noo(A + B)
Ni((A + B) T ) = Ni (A T + B T )
� Ni(A T ) + Ni(B T ) = N00 (A) +N00 (B).
(Ds) Voir le Cours de première année p. 425 et suivantes.