Espaces métriques et espaces vectoriels normés
iii) Pour tout x E E et pour tout >. E OC on a
iv) Pour tout (x, y) E E 2 on a
N(x +y) = aN1(x +y) + bN 2 (x +y)
� a (N1 (x) + N 2 (y)) + b (N 2 (x) + N 2 (y))
aN1(x) + bN 2 (x) + aN1( Y ) + bN 2 ( Y ).
= N(x)
= N(y)
On en déduit que N(x +y) � N(x) + N(y).
SOLUTION DE L'EXERCICE 7. 7
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1-Montrons que l'application N: XE oc n
� llA x ll est une semi-norme sur oc n .
Comme Il · Il est une norme, pour tout x E oc n on a N(x) � O. De plus, pour
tout X E oc n et pour tout À E OC, on a
N(>. · x) = llA (>. · x)ll = 11>-A xll ·
Comme Il · Il est une norme, 11>-A x ll = l>-1 llA x ll = l>-1 N(x), ce qui permet de
conclure que N(>. · x) = l>-1 N(x). Reste à établir l'inégalité triangulaire. Pour
tout (x, y) E E 2 on a
N(x +y)= llA (x + y) ll = llA x + Ayll.
Comme li · · li est une norme, llA x +Ayll � llA xll + llA Yll = N(x) + N(y). On a
donc N(x +y) � N(x) + N(y) et on peut conclure que N est une semi-norme
sur oc n .
2 - a) L'application N n'est pas une norme puisque, par exemple, en prenant pour A la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf les coefficients
diagonaux de position 2 à n qui valent 1, i.e. en prenant
0 0 0
0
1
0 1
0
0
0
A =
et X=
0
0
1 0
0
0
0 0 1
0
on obtient A x =O. On a donc N(x) = 0 mais x -:f. O.
b) Comme Il · Il est une norme, pour tous A E Mn(OC) et x E oc n on a
N(x) = 0 <:==> llA xll = 0 <:==> A x =O.