Espaces métriques et espaces vectoriels normés
435
2 - a) Soient u, v E R. n tels que N 3 (u) = 1 et N'J. (v) = 1; en utilisant l'inégalité
2
obtenue à la question précédente, on obtient
b) Soient U et V deux vecteurs de R. n supposés non nuls et
1
u = N 3 (U) U
On a
et
1
V = N3 (V) V.
�
De même, on vérifie que N 'J. ( v) = 1. On peut donc appliquer le résultat établi
2
à la question précédente ; on a
De la relation II:: � =I U k v k l � 1 on déduit que :
n
L I U k V k l � N 3 (U) N � (V).
k=l
Si l'un des vecteurs U ou V est nul, la relation est encore vraie car on a dans
ce cas : 2"::: � =1 I U k V k l = 0 et NJ (U) N � (V) =O.
3 - a) Soient x = (x 1 , ... , Xn) et y = (Y 1 , ... , Yn) deux vecteurs de R. n ; on a
X+ y = (x 1 + Y1 , . . . ' Xn + Yn) et
n
n
NJ (x + Y ) 3 = L l x k + Yk l 3 = L l x k + Yk l l x k + Yk l 2 ·
k=l
k=l
n
n
N 3 (x + y) 3 � L l x k l l x k + Yk l 2 + L IYk l l x k + Yk l 2 ·
k=l
k=l