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Solutions des exercices
On en conclut que : d(x, y) � d(x, z) + d(z, y).
SOLUTION DE L'EXERCICE 7 .3
Remarquons que pour tous f et g appartenant à C 0 ([a, b] , R), l'application
f : x E [a, b] t-t (f(x) - g(x)) 2 est continue et donc Riemann-intégrable<92> sur
[a, b] . Par conséquent d 2 (!, g) est bien définie. Vérifions que d 2 satisfait aux
quatre conditions de la définition 7.1 .
1 - Si f et g sont deux applications continues sur [a, b] alors l'application
x E [a, b] t-t (f (x) - g(x) ) 2 étant continue et positive sur l'intervalle [a, b] ,
on a<9 3> d'une part J:(!(x) - g(x)) 2 dx � 0 et d'autre part
b
.
1 (f(x) - g(x)) 2 dx = 0 � (Vx E [a, b] (f(x) - g(x)) 2 = 0) � f = g.
On en déduit que d 2 (!, g) � 0 et (d 2 (!, g) = 0 {::} f = g) .
2 - Soit (!, g) E C 0 ([a, b] , JR) 2 ; Comme (f(x) - g(x)) 2 = (g(x) - f(x)) 2 pou r
tout réel x E [a, b], on en déduit que d 2 (!, g) = d 2 (g, f).
3 - Pour (!, g, h) E C 0 ((a, b], JR)3 on a
d 2 (!, h) 2 = 1
b (f(x) - h(x)) 2 dx = 1
b
( (f(x) - g(x)) + (g(x) - h(x)))
2 dx
= 1
b
(f(x) - g(x)) 2 dx + 1
b (g(x) - h(x)) 2 dx
+ 2 1
b
(f(x) - g(x) ) x (g(x) - h(x) ) dx.
Or, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz<94> , on a
b
(
b
) !
1 (f(x) - g(x)) x (g(x) - h(x)) dx � 1 (f(x) - g(x)) 2 dx
1
x ( 1
b (g(x) - h(x)) 2 d x) 2 = d 2 (!, g) d 2 (g, h) .
On en déduit que :
d 2 (!, h) 2 � d 2 (!, g) 2 + d 2 (g, h) 2 + 2 d 2 (!, g) d 2 (g, h) = (d 2 (!, g) + d 2 (g, h)) 2 ,
autrement dit que : d 2 (!, h) � d 2 (!, g) + d 2 (g, h).
<92> Vo ir la proposition 18.2 p. 842 du Coul's de première année.
<93> Voir la proposition 18.5 p. 844 du Cours de première année.
<94> vo ir la proposition 18.6 p. 846 du Cours de première année.