Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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a) Comme

à valeurs positives.
b) Si (x, y) E JR 2 sont tels que x = y alors on a d(x, y) = 0 car Réciproquement, si d(x, y) = 0 alors dit que x =y.
c) Pour tout (x, y) E JR 2 on a / x - y/ = /y - x/ donc d(x, y) = d(y, x).
d) Pour tout (x, y, z) E JR 3 on a /x - y/ :::; ; /x - z/ + /y - z/ et comme est strictement croissante, on a (/x - y/) :::; ; hypothèse, pour tout (u, v) E [0, +oo [ 2 on a (/y - z/). On en conclut que :
d(x, y) = (/x - z/) + 2 - Pour établir que l'application d : (x, y) E JR 2 1-+ 1fi;�� I est une distance
sur JR, il suffit de remarquer que pour tout (x, y) E JR 2 on a d(x, y) = (/x -y/)
où les conditions de la question 1.
a) L'application

pôle dans JR + ; pour tout u E JR+ on a 0 donc

strictement croissante sur JR+ .
b) On a bien (O) =O.
c) Pour montrer que pour tout (u, v) E (0, +oo[ 2 on a (u + v) :::; ; il suffit d'étudier le signe de (u + v) - (2 + u + v)uv
Comme u � 0 et v � 0, il est clair que 3 - Reprenons et généralisons le raisonnement de la question 1. Montrons que
compte tenu des hypothèses vérifiées par et du fait que ô est une distance
sur JR, l'application d: (x, y) E JR 2 1-+ (ô(x, y)) satisfait aux quatre conditions
de la définition 7.1.
a) Comme

à valeurs positives.
b) Si (x, y) E JR 2 sont tels que x =y alors on a d(x, y) = 0 car croissante avec (O) = 0, on en déduit que ô(x, y) = 0, autrement dit que
x = y car ô est une distance.
c) Pour tout (x, y) E JR 2 , puisque ô est une distance on a ô(x, y) = ô(y, x) et
par conséquent d(x, y) = d) Comme ô est une distance, pour tout (x, y, z) E JR 3 on a l'inégalité triangulaire ô(x, y) :::; ; ô(x, z) + ô(y, z) et comme (ô(x, z) + ô(y, z)). Or, par hypothèse, pour tout
(u, v) E [O, +oo[ 2 on a (u) + (ô(x, z)) +