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Solutions des exercices
7.6 Solutions des exercices
SOLUTION DE L'EXERCICE 7. 1
1 - Pour tout (x, y) E JR 2 on a 1���� 1 ? O. Comme l'application logarithme
est strictement croissante sur JO, +oo[ et que ln(l) = 0, on en déduit que l'on
a bien d(x, y) ? O. Par ailleurs, puisque l x - YI = IY - xi on peut affirmer que
d(x, y) = d(y, x).
2 - Puisque ln(z) = 0 {:::} z = 1, on a les équivalences suivantes pour tout
(x, y) E 1R 2 :
d(x, y) = 0
lx - y l = 0
1 + l x - y l
l x - YI = 0 {=::: :: :} X = y.
3 - Pour montrer que V(x, y, z) E JR 3 d(x, y) + d(y, z) � d(x, z), on peut montrer que d(x, y)+d(y, z) -d(x, z)? 0 ou encore, l'application exponentielle étant
strictement croissante, montrer que Q = exp (d(x, y) + d(y, z) - d(x, z)) ? 1.
On a,
Q = ( 1 l x - YI · ) (i I Y - zl ) ( 1 l x - zl ) - l
+ 1 +lx - YI x + 1 + IY - zl x
+ 1 + l x - zl
(1 + 2lx - yl )(l + 2ly - zl)(l + l x - zl ) n!!__ t. N
(1 + l x - y l )(l + IY - zl)(l + 2l x - zl)
D ·
Remarquons que le dénominateur D est une quantité strictement positive. Montrer que Q ? 1 revient à montrer que N ? D. En développant et en simplifiant
l'expression N ? D, on obtient que cette inégalité est satisfaite si et seulement si
- l x - zl + IY - zl + lx - YI + l x - YllY - zl (3 + 2lz - xi )? O.
=A
=B
Il est clair que B est une quantité positive. Par ailleurs d'après la première
inégalité triangulaire
l x - zl = l (x - y) + (y - z) I � l x - YI + I Y - zl ,
ce qui permet d'affirmer que A est également une quantité positive.
Remarque On peut aussi établir que A est une quantité positive en invoquant
le fait que o : (x, y) E JR 2 t-t lx - YI est la distance usuelle de R On a donc
o(x, z) = l x - zl � o(x, y) + o(y, z) = l x - YI + IY - zl d'après la troisième
condition intervenant dans la définition d'une distance.
<>
On conclut de ce qui précède que l'application d est bien une distance dans R
SOLUTION DE L'EXERCICE 7.2
1 - Montrons que, compte tenu des hypothèses vérifiées par d: (x, y) E JR 2 t-t