Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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2-Pour tout p E]l, +oo[,on considère l'application Np : x E JR n � ( 2:: �=1 l x kl P) P
où (x1, ... ,x n ) désignent les composantes de x.
a) Soient u, v E ]R n tels que N 3 (u) = 1 et Nil (v) = 1; montrer que
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E�= l luk Vk 1 � 1.
b) En déduire que pour tous U, VE JR n on a E �= l I U k V kl � N 3 (U) N � (V).
3 - a) Montrer que pour tous x = (xi, ... , X n ) et y = (y1, ... , Y n ) dans JR n
on a
n
n
N 3 (x + Y ) 3 � L l x kl l x k + Ykl 2 + L IYkl l x k + Ykl 2 ·
k = l
k = l
b) En utilisant la question 2, en déduire que N 3 (x + y) � N 3 (x) + N 3 (y).
1
4 - Montrer que l'application N 3 : x E JR n � (E �= l l x k 1 3 ) 3 est une norme sur JR n .
Plus généralement, on montre que pour tout p E)l, +oo[ l'application
n
1
x E lR n � ( Lk=l l x kl P) li est une norme sur JR n.