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Exercices de synthèse
dans !R n muni de la norme infinie ; comme A est borné
<90' , il existe a E A et
r E JR+ tel que Ac B(a, r). En désignant par (a 1 , . . . , an) les composantes de a,
on a: B(a, r ) = fr= i fai - r, ai + r] . Puisque le pavé P = IJ� =i [ai - r, ai + r]
est un ensemble compact de !R n (voir p. 414) et que A est un sous-ensemble
fermé de P, d'après la proposition 7.21, A est compact.
D
On montre également que dans le C-espace vectoriel e n , un sous-ensemble est
compact si et seulement s'il est fermé et borné et plus généralement, on a le
résultat suivant que nous admettrons.
PROPOSiTION 7.22 Soit (E, Il · //) un espace vectoriel normé de dimension
finie et K un sous-ensemble de E. K est compact si et seulement si K est
fermé et borné dans (E, Il · //).
7.5 Exercices de synthèse
Exercice 7.16
1
1 - a) Montrer que l'application N 2 : / EC 1 ([a, b],IR) r-+ (J: l f(t)/ 2 dt)
2 est
une norme sur C 1 ([a, b] , IR).
1
b) Montrer que l'application N� : f E C 1 ([a, b],IR) r-+ (J: l f'(t) 1 2 dt)
2
est
une semi-norme sur C 1 ([a, b], IR) mais qu'il ne s'agit pas d'une norme.
2 - a) Montrer que E = {! E C 1 ([a, b) ,IR) ; f(a) = ü} est un espace vectoriel.
b) Montrer que N 2 et N� sont deux normes sur E.
3 - Montrer que pour tout f E E on a
mais que les deux normes ne sont pas équivalentes (on pourra considérer les
fonctions puissances pour l'établir) .
Exercice 7.17 Norme de Holder
<9•> sur !R n
1 - a) Pour a E IR + fixé, étudier l'application f : x E JR+ r-+ �a 3 + �x � - ax.
b) En déduire que pour tous a, b E JR+ on a ab � �a 3 + �b � .
<90> Voir la définition 7.11 p. 382.
<9•>
HôLDER, Otto Ludwig (1859, Stuttgart - 1937, Leipzig). Mathématicien allemand qui a
notam m ent travaillé sur la convergence des séries de Fourier et en théorie des groupes.