Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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puis en posant E = � et n = N, que
Cette assertion exprime le fait que la suite (xh ( n ) )n diverge dans (K, d), voir
p. 389. On obtient une contradiction : puisque J( est compact, on devrait
pouvoir extraire de la suite (xn)n une sous-suite qui converge vers un élément
de K.
D
Remarque Par contraposition, la proposition 7.20 indique qu'un ensemble
qui n'est pas fermé ou qui n'est pas borné, ne peut pas être un compact.
o
La proposition suivante indique que pour qu'un sous-ensemble d'un ensemble
compact soit lui-même compact, il suffit qu'il soit fermé.
PROPOSITION 7.21 Soient (E, d) un espace métrique et J( un sous-ensemble
de E qui est compact. Si A est un sous-ensemble fermé de J( alors A est
compact dans (E, d).
Démonstration Considérons une suite (xn)n d'éléments de A. Pour montrer
que A est un ensemble compact, d'après la définition 7.23, il faut montrer que
l'on peut extraire de la suite (xn)n une sous-suite qui converge dans (E, d) vers
un élément C de A. Comme Ac K, les éléments de la suite (xn)n appartiennent
à K. L'ensemble J( étant par hypothèse compact, on peut extraire de la suite
(xn)n une sous-suite (xh ( n ) )n qui converge dans (E, d) vers un élément C de
l'ensemble K. Comme les termes de la suite extraite (xn)n appartiennent à
l'ensemble A, les termes de la suite (xh ( n ) )n appartiennent aussi à l'ensemble A.
On peut donc extraire de la suite (xn)n une sous-suite (xh ( n ) )n d'éléments de A
qui converge dans (E, d). Par ailleurs, comme A est par hypothèse un ensemble
fermé, d'après le théorème 7.6, la limite C de la suite (xh ( n ) )n est un élément
de A. On a donc montré que l'on peut extraire de la suite (xn)n une soussuite (xh ( n ) )n d'éléments de A qui converge dans (E, d) vers un élément de A.
L'ensemble A est donc compact dans (E, d).
D
La proposition 7.20 indique qu'un ensemble compact est nécessairement fermé
et borné. Le théorème suivant indique que dans !R n , la réciproque est vraie :
tout ensemble fermé et borné est compact. Il y a donc coïncidence entre les
ensembles compacts et les ensembles fermés et bornés dans !R n .
THÉORÈME 7.7 (Caractérisation des compacts de !R n )
Dans le IR-espace vectoriel !R n , un sous-ensemble est compact si et seulement
s'il est fermé et borné.
Démonstration D'après la proposition 7.20, tout ensemble compact de R. n
est fermé et borné. Réciproquement, considérons un ensemble A fermé et borné
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puis en posant E = � et n = N, que
Cette assertion exprime le fait que la suite (xh ( n ) )n diverge dans (K, d), voir
p. 389. On obtient une contradiction : puisque J( est compact, on devrait
pouvoir extraire de la suite (xn)n une sous-suite qui converge vers un élément
de K.
D
Remarque Par contraposition, la proposition 7.20 indique qu'un ensemble
qui n'est pas fermé ou qui n'est pas borné, ne peut pas être un compact.
o
La proposition suivante indique que pour qu'un sous-ensemble d'un ensemble
compact soit lui-même compact, il suffit qu'il soit fermé.
PROPOSITION 7.21 Soient (E, d) un espace métrique et J( un sous-ensemble
de E qui est compact. Si A est un sous-ensemble fermé de J( alors A est
compact dans (E, d).
Démonstration Considérons une suite (xn)n d'éléments de A. Pour montrer
que A est un ensemble compact, d'après la définition 7.23, il faut montrer que
l'on peut extraire de la suite (xn)n une sous-suite qui converge dans (E, d) vers
un élément C de A. Comme Ac K, les éléments de la suite (xn)n appartiennent
à K. L'ensemble J( étant par hypothèse compact, on peut extraire de la suite
(xn)n une sous-suite (xh ( n ) )n qui converge dans (E, d) vers un élément C de
l'ensemble K. Comme les termes de la suite extraite (xn)n appartiennent à
l'ensemble A, les termes de la suite (xh ( n ) )n appartiennent aussi à l'ensemble A.
On peut donc extraire de la suite (xn)n une sous-suite (xh ( n ) )n d'éléments de A
qui converge dans (E, d). Par ailleurs, comme A est par hypothèse un ensemble
fermé, d'après le théorème 7.6, la limite C de la suite (xh ( n ) )n est un élément
de A. On a donc montré que l'on peut extraire de la suite (xn)n une soussuite (xh ( n ) )n d'éléments de A qui converge dans (E, d) vers un élément de A.
L'ensemble A est donc compact dans (E, d).
D
La proposition 7.20 indique qu'un ensemble compact est nécessairement fermé
et borné. Le théorème suivant indique que dans !R n , la réciproque est vraie :
tout ensemble fermé et borné est compact. Il y a donc coïncidence entre les
ensembles compacts et les ensembles fermés et bornés dans !R n .
THÉORÈME 7.7 (Caractérisation des compacts de !R n )
Dans le IR-espace vectoriel !R n , un sous-ensemble est compact si et seulement
s'il est fermé et borné.
Démonstration D'après la proposition 7.20, tout ensemble compact de R. n
est fermé et borné. Réciproquement, considérons un ensemble A fermé et borné