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Suites dans un espace métrique
extraire de cette suite une sous-suite (Yg(n))n (g désignant l'extractrice) qui
converge vers un élément € 2 de [a 2 , b 2 ]· En posant f = g o h, on en déduit que
la suite (vn)n de terme général Vn = (xf(n) , YJ(n)) est une suite extraite de la
suite (un)n qui converge vers (fi,€ 2 ) E [a 1 ,b 1 ] x [a 2 ,b 2 ]. L'ensemble Pest donc
bien un ensemble compact.
Remarque En utilisant un raisonnement analogue à celui développé dans
l'exemple précédent, on montre que si Ki et K 2 sont deux ensembles compacts
dans les espaces métriques (E 1 , di) et (E 2 , d 2 ) respectivement, alors l'ensemble
K 1 x K 2 est un ensemble compact dans E 1 x E 2 muni de l'une des distances produit. Par récurrence, on étend ce résultat au produit cartésien de n ensembles
compacts. En particulier, dans IR" muni d'une distance équivalente à la distance euclidienne, tout pavé f1� 1 [ai,bi] (où pour i E {l, . . . , n } (ai ,bi) E IR 2
avec ai < bi) est un ensemble compact.
o
PROPOSITION 7.20 Soient (E, d) un espace métrique et K un sous-ensemble
de E. Si K est compact alors K est fermé et borné.
Démonstration � Raisonnons par l'absurde et supposons que K n'est pas
fermé. Il existe dans ce cas une suite (xn)n d'éléments de K qui converge et
dont la limite e n'appartient pas à K. Comme K est compact, on peut extraire
de cette suite une sous-suite (x1i(n))n qui converge et dont la limite e' est un
élément de K. On aboutit à une contradiction : comme la suite (xn)n converge
vers e, toute suite extraite de cette suite converge obligatoirement vers e; on a
donc /!,=€' avec e' E K et /!,� K.
� Raisonnons par l'absurde et supposons que K n'est pas borné, c'est-à-dire
(89)
supposons que
\://!, E K 'VC E JR+ 3x E K d(x, a) > C.
En considérant des réels C = l/n où n E N*, cette assertion implique qu'il
existe une suite (xn)n d'éléments de K tel que
\://!, E K 'Vn EN*
Considérons une sous-suite quelconque (xh(n))n extraite de la (xn)n, h désignant l'extractrice. D'après l'assertion précédente,
\://!, E K VN EN* d(xh(N) , €) > h(N)
et comme h est une extractrice h(N) � N > �· On en déduit que
\://!, E K 'VN EN*
<59> vo ir la définition 7.11 p. 382.
Suites dans un espace métrique
extraire de cette suite une sous-suite (Yg(n))n (g désignant l'extractrice) qui
converge vers un élément € 2 de [a 2 , b 2 ]· En posant f = g o h, on en déduit que
la suite (vn)n de terme général Vn = (xf(n) , YJ(n)) est une suite extraite de la
suite (un)n qui converge vers (fi,€ 2 ) E [a 1 ,b 1 ] x [a 2 ,b 2 ]. L'ensemble Pest donc
bien un ensemble compact.
Remarque En utilisant un raisonnement analogue à celui développé dans
l'exemple précédent, on montre que si Ki et K 2 sont deux ensembles compacts
dans les espaces métriques (E 1 , di) et (E 2 , d 2 ) respectivement, alors l'ensemble
K 1 x K 2 est un ensemble compact dans E 1 x E 2 muni de l'une des distances produit. Par récurrence, on étend ce résultat au produit cartésien de n ensembles
compacts. En particulier, dans IR" muni d'une distance équivalente à la distance euclidienne, tout pavé f1� 1 [ai,bi] (où pour i E {l, . . . , n } (ai ,bi) E IR 2
avec ai < bi) est un ensemble compact.
o
PROPOSITION 7.20 Soient (E, d) un espace métrique et K un sous-ensemble
de E. Si K est compact alors K est fermé et borné.
Démonstration � Raisonnons par l'absurde et supposons que K n'est pas
fermé. Il existe dans ce cas une suite (xn)n d'éléments de K qui converge et
dont la limite e n'appartient pas à K. Comme K est compact, on peut extraire
de cette suite une sous-suite (x1i(n))n qui converge et dont la limite e' est un
élément de K. On aboutit à une contradiction : comme la suite (xn)n converge
vers e, toute suite extraite de cette suite converge obligatoirement vers e; on a
donc /!,=€' avec e' E K et /!,� K.
� Raisonnons par l'absurde et supposons que K n'est pas borné, c'est-à-dire
(89)
supposons que
\://!, E K 'VC E JR+ 3x E K d(x, a) > C.
En considérant des réels C = l/n où n E N*, cette assertion implique qu'il
existe une suite (xn)n d'éléments de K tel que
\://!, E K 'Vn EN*
Considérons une sous-suite quelconque (xh(n))n extraite de la (xn)n, h désignant l'extractrice. D'après l'assertion précédente,
\://!, E K VN EN* d(xh(N) , €) > h(N)
et comme h est une extractrice h(N) � N > �· On en déduit que
\://!, E K 'VN EN*
<59> vo ir la définition 7.11 p. 382.