Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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DÉFINITION 7.23 Soient (E, d) un espace métrique et K un sous-ensemble
de E. L'ensemble K est dit compact dans (E, d) si de toute suite d'éléments
de K on peut extraire une sous-suite qui converge vers un élément de K.
Remarques
1. Si un sous-ensemble K est compact pour E muni de la distance d, il est compact pour toute distance équivalente à d sur E puisque toute suite convergeant
dans (E, d) converge également dans E muni d'une distance équivalente à d.
2. D'après la définition 7.18, un ensemble K est compact si toute suite d'éléments de K admet au moins une valeur d'adhérence appartenant à K.
o
Exemples
1. Dans un espace métrique (E, d), tout sous-ensemble K de E possédant un
nombre fini d'éléments est compact. En effet, une suite (xn)n d'éléments de Ka
nécessairement un nombre infini de ses termes qui prennent une même valeur a
de K. On dispose ainsi d'une suite extraite de la suite (x,.)n qui est constante.
Comme une suite constante converge, on en déduit que la suite (xn)n possède
une sous-suite qui converge et dont la limite qui est a appartient à K.
2. L'ensemble � muni de la distance usuelle n'est pas un ensemble compact car
il n'existe pas de suite extraite de la suite de terme général u,. = n qui soit
convergente.
3. Dans � muni de la distance usuelle, tout intervalle fermé et borné [a, b] , où a, b
désignent deux réels tels que a < b, est un ensemble compact. Considérons en
effet une suite (un)n d'éléments de [a, b] ; cette suite est bornée (elle est majorée
par b et minorée par a). Or, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass <87> , de
toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente. Les termes
de cette sous-suite sont des éléments de [a, b] ; comme l'intervalle [a, b] est fermé,
d'après le théorème 7.6 sa limite est nécessairement un élément de [a, b]. On
peut donc extraire de la suite ( un)n une sous-suite convergeant vers un élément
de [a, b] ; l'intervalle [a, b] est compact. Cela justifie la terminologie d'intervalle
compact souvent utilisée pour désigner un intervalle fermé et borné de R
4. Dans � 2 muni d'une distance équivalente à la distance euclidienne, tout pavé
P = [a 1 ,bi] x [a 2 ,b 2 ], où a 1 ,b 1 ,a 2 ,b 2 désignent quatre réels tels que ai < bi et
a 2 < b 2 , est compact. Considérons une suite (un)n d'éléments de P; pour tout
n E N, on a Un = (xn, Yn) avec Xn E [ai, bi] et Yn E [a 2 , b 2 ] · La suite (xn)n est
une suite d'éléments de l'intervalle [ai, bi] ; comme cet intervalle est compact,
on peut extraire de la suite (xn)n une sous-suite (xh(n))n (h désignant l'extractrice cs8> ) qui converge vers un élément e 1 de [a1 , bi]. De manière similaire, la
suite (Yn)n étant une suite d'éléments de l'intervalle compact [a1 , biJ, on peut
( 87 )"
.
1
d
.
voir e théorème 5.3 p. 189 du Cours e première année.
< 88> On rappelle, voir la définition 5.7 p. 186 du Cours de première année qu'une extractrice
est une application de N dans N strictement croissante.
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DÉFINITION 7.23 Soient (E, d) un espace métrique et K un sous-ensemble
de E. L'ensemble K est dit compact dans (E, d) si de toute suite d'éléments
de K on peut extraire une sous-suite qui converge vers un élément de K.
Remarques
1. Si un sous-ensemble K est compact pour E muni de la distance d, il est compact pour toute distance équivalente à d sur E puisque toute suite convergeant
dans (E, d) converge également dans E muni d'une distance équivalente à d.
2. D'après la définition 7.18, un ensemble K est compact si toute suite d'éléments de K admet au moins une valeur d'adhérence appartenant à K.
o
Exemples
1. Dans un espace métrique (E, d), tout sous-ensemble K de E possédant un
nombre fini d'éléments est compact. En effet, une suite (xn)n d'éléments de Ka
nécessairement un nombre infini de ses termes qui prennent une même valeur a
de K. On dispose ainsi d'une suite extraite de la suite (x,.)n qui est constante.
Comme une suite constante converge, on en déduit que la suite (xn)n possède
une sous-suite qui converge et dont la limite qui est a appartient à K.
2. L'ensemble � muni de la distance usuelle n'est pas un ensemble compact car
il n'existe pas de suite extraite de la suite de terme général u,. = n qui soit
convergente.
3. Dans � muni de la distance usuelle, tout intervalle fermé et borné [a, b] , où a, b
désignent deux réels tels que a < b, est un ensemble compact. Considérons en
effet une suite (un)n d'éléments de [a, b] ; cette suite est bornée (elle est majorée
par b et minorée par a). Or, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass <87> , de
toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente. Les termes
de cette sous-suite sont des éléments de [a, b] ; comme l'intervalle [a, b] est fermé,
d'après le théorème 7.6 sa limite est nécessairement un élément de [a, b]. On
peut donc extraire de la suite ( un)n une sous-suite convergeant vers un élément
de [a, b] ; l'intervalle [a, b] est compact. Cela justifie la terminologie d'intervalle
compact souvent utilisée pour désigner un intervalle fermé et borné de R
4. Dans � 2 muni d'une distance équivalente à la distance euclidienne, tout pavé
P = [a 1 ,bi] x [a 2 ,b 2 ], où a 1 ,b 1 ,a 2 ,b 2 désignent quatre réels tels que ai < bi et
a 2 < b 2 , est compact. Considérons une suite (un)n d'éléments de P; pour tout
n E N, on a Un = (xn, Yn) avec Xn E [ai, bi] et Yn E [a 2 , b 2 ] · La suite (xn)n est
une suite d'éléments de l'intervalle [ai, bi] ; comme cet intervalle est compact,
on peut extraire de la suite (xn)n une sous-suite (xh(n))n (h désignant l'extractrice cs8> ) qui converge vers un élément e 1 de [a1 , bi]. De manière similaire, la
suite (Yn)n étant une suite d'éléments de l'intervalle compact [a1 , biJ, on peut
( 87 )"
.
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d
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voir e théorème 5.3 p. 189 du Cours e première année.
< 88> On rappelle, voir la définition 5.7 p. 186 du Cours de première année qu'une extractrice
est une application de N dans N strictement croissante.