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Suites dans un espace métrique
Démonstration D'après la définition 7.10, A est dense dans E si A= E et
d'après le théorème 7.6, un élément a de E appartient à l'adhérence A de A si
et seulement s'il est la limite d'une suite d'éléments de A.
0
Nous avons vu p. 401 qu'un sous-espace métrique d'un espace métrique complet n'était pas nécessairement complet. La proposition suivante fournit une
condition nécessaire et suffisante pour qu'un sous-espace métrique d'un espace
métrique complet soit lui-même complet.
PROPOSITION 7.19 Soient (E, d) un espace métrique complet et A un sousensemble de E. Une condition nécessaire et suffisante pour que (A, d) soit un
sous-espace métrique complet est que A soit fermé dans (E, d).
Démonstration !:'.'. Nous allons établir l'assertion : « (A, d) est un espace
métrique complet implique que A est fermé dans (E, d) », en montrant que
sa contraposée est vraie. Supposons donc que A n'est pas un ensemble fermé
dans (E, d). D'après le théorème 7.6, il existe alors (au moins) une suite (xn)n
d'éléments de A qui converge dans (E, d) et dont la limite n'appartient pas à A
(elle appartient à CeA). Comme la suite (xn)n converge dans (E, d), c'est une
suite de Cauchy dans (E, d) et par conséquent dans (A, d) car A c E. On en
conclut que (A, d) n'est pas un espace métrique complet car on dispose d'une
suite d'éléments de A qui est de Cauchy dans (A, d) mais qui ne converge pas
dans (A, d).
!:'.'. Montrons l'implication réciproque : « A est fermé dans (E, d) implique que
(A, d) est un espace métrique complet ». Soit (xn)n une suite d'éléments de A
qui est de Cauchy dans (A, d). Puisque A c E, cette suite est aussi une suite
d'éléments de E et, comme (E, d) est complet, cette suite de Cauchy converge
dans (E, d). Comme il s'agit d'une suite d'éléments de A et que A est fermé,
sa limite est un élément de A. On en déduit que la suite (xn)n converge dans
(A, d) et par conséquent que (A, d) est complet.
0
Remarque La première partie de la démonstration, qui n'utilise pas l'hypothèse de complétude de (E, d), établit le résultat suivant. Dans un espace
métrique (E, d), un sous-espace métrique complet (A, d) est nécessairement
fermé. La contraposée nous indique qu'un sous-espace métrique qui n'est pas
fermé ne peut être complet. On établit par ce moyen la non-complétude de Q
pour la distance usuelle : il n'est pas fermé dans lR (on a ij = JR) donc il ne
peut pas être complet.
o
7.4.5 Ensembles compacts
Dans les problèmes de « passage à la limite » une classe d'ensembles joue un
rôle important, ce sont les ensembles dits « compacts ».
Suites dans un espace métrique
Démonstration D'après la définition 7.10, A est dense dans E si A= E et
d'après le théorème 7.6, un élément a de E appartient à l'adhérence A de A si
et seulement s'il est la limite d'une suite d'éléments de A.
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Nous avons vu p. 401 qu'un sous-espace métrique d'un espace métrique complet n'était pas nécessairement complet. La proposition suivante fournit une
condition nécessaire et suffisante pour qu'un sous-espace métrique d'un espace
métrique complet soit lui-même complet.
PROPOSITION 7.19 Soient (E, d) un espace métrique complet et A un sousensemble de E. Une condition nécessaire et suffisante pour que (A, d) soit un
sous-espace métrique complet est que A soit fermé dans (E, d).
Démonstration !:'.'. Nous allons établir l'assertion : « (A, d) est un espace
métrique complet implique que A est fermé dans (E, d) », en montrant que
sa contraposée est vraie. Supposons donc que A n'est pas un ensemble fermé
dans (E, d). D'après le théorème 7.6, il existe alors (au moins) une suite (xn)n
d'éléments de A qui converge dans (E, d) et dont la limite n'appartient pas à A
(elle appartient à CeA). Comme la suite (xn)n converge dans (E, d), c'est une
suite de Cauchy dans (E, d) et par conséquent dans (A, d) car A c E. On en
conclut que (A, d) n'est pas un espace métrique complet car on dispose d'une
suite d'éléments de A qui est de Cauchy dans (A, d) mais qui ne converge pas
dans (A, d).
!:'.'. Montrons l'implication réciproque : « A est fermé dans (E, d) implique que
(A, d) est un espace métrique complet ». Soit (xn)n une suite d'éléments de A
qui est de Cauchy dans (A, d). Puisque A c E, cette suite est aussi une suite
d'éléments de E et, comme (E, d) est complet, cette suite de Cauchy converge
dans (E, d). Comme il s'agit d'une suite d'éléments de A et que A est fermé,
sa limite est un élément de A. On en déduit que la suite (xn)n converge dans
(A, d) et par conséquent que (A, d) est complet.
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Remarque La première partie de la démonstration, qui n'utilise pas l'hypothèse de complétude de (E, d), établit le résultat suivant. Dans un espace
métrique (E, d), un sous-espace métrique complet (A, d) est nécessairement
fermé. La contraposée nous indique qu'un sous-espace métrique qui n'est pas
fermé ne peut être complet. On établit par ce moyen la non-complétude de Q
pour la distance usuelle : il n'est pas fermé dans lR (on a ij = JR) donc il ne
peut pas être complet.
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7.4.5 Ensembles compacts
Dans les problèmes de « passage à la limite » une classe d'ensembles joue un
rôle important, ce sont les ensembles dits « compacts ».