Espaces métriques et espaces vectoriels normés
421
SOLUTION DE L'EXERCICE 7.4
1 - La série l:: n Vn de terme général Vn = 2 �. i lÏ��. I est une série à termes
positifs. Pour tout n E N, on a lunl � lunl + 1 donc Vn � 2 � •. Comme la
série géométrique de raison � converge, on déduit des critères de comparaison
pour les séries à termes positifs (voir le théorème 1.2 p. 14) que la série L: n Vn
converge.
2 - Vérifions que d satisfait aux quatre conditions de la définition 7.1.
- Soit ((un)n, (vn)n) E S(IK) 2 • On a clairement, compte tenu des propriétés de
la valeur absolue dans le cas où lK = IR. ou du module dans le cas où lK = C,
d((un)n, (vn)n) ;;:: 0 et d((un)n, (vn)n) = d((vn)n, (un)n) ·
Par ailleurs d((un)n , (vn)n) = 0 si et seulement si pour tout n E N on
a 2 � . i lï���:� 1 = O. Il est évident que si les deux suites (un)n et (vn)n sont
égales alors pour tout n E N on a 2 1 n ilÏ���,� � I = O. Inversement, Comme
2 n (l + lun - vn l ) > 0, la relation 2 �. i l��,� � I = 0 pour tout n EN ne peut avoir
lieu que si lun - Vnl = 0 i.e. si Un = Vn. On en conclut que d((un)n , (vn)n) = 0
si et seulement si les deux suites (un)n et (vn)n sont égales.
- Reste à établir la première inégalité triangulaire pour d. L'application
: x E JR. + 1-+ l � x est continue et dérivable de dérivée l'application
x E JR. + 1-+ (H�x) 2 qui est strictement positive. L'application est donc strictement croissante, ce qui implique que si (x, y) E JR. + x JR. + vérifie x �y alors
X
y
(x) = - � (y) = - .
l + x
l +y
Soient (un)n, (vn)n et ( wn )n trois suites numériques. Pour tout n EN, on a:
lun - vnl � lun - wn l + lwn - vn l · En appliquant la relation précédente avec
X = lun - �n i et y= lun - Wn l + lwn - Vnl , On obtient :
lun - Vn l
lun -wn l + lwn - vn l
-'------'---- � ----'----'-----'----'-1 + lun - Vn 1 1 + lun - Wn 1 + lwn - Vn 1
Mais
donc
et
lun -wn l
lwn - vn l
1 + lun - wn l + lwn - vn l
+ 1 + lun - Wn l + lwn - vn l
.
1 + lun -wn l + lwn - Vn l ? 1 + lun - wnl ,
1 + lun - wn l + lwn - vn l ? 1 + lwn - Vnl
-----' l _ u _ n _ - _ w _ n '-- 1 ___ � lun - wn l
1 + lun - Wn l + lwn - Vn l "' 1 + lun - Wn l
lwn - Vn l
lwn - vn l
1
1 1
1
�
1
1 ·
1 + Un - Wn + Wn - Vn 1 + Wn - Vn
On en déduit que pour tout n E N
1 lun - Vnl
1 lun -Wn l
1 lwn-Vn l
-
� -
+ - ---- -
2 n 1 + lun - Vn 1 "' 2 n 1 + lun - Wn 1 2 n 1 + lwn - Vn 1
421
SOLUTION DE L'EXERCICE 7.4
1 - La série l:: n Vn de terme général Vn = 2 �. i lÏ��. I est une série à termes
positifs. Pour tout n E N, on a lunl � lunl + 1 donc Vn � 2 � •. Comme la
série géométrique de raison � converge, on déduit des critères de comparaison
pour les séries à termes positifs (voir le théorème 1.2 p. 14) que la série L: n Vn
converge.
2 - Vérifions que d satisfait aux quatre conditions de la définition 7.1.
- Soit ((un)n, (vn)n) E S(IK) 2 • On a clairement, compte tenu des propriétés de
la valeur absolue dans le cas où lK = IR. ou du module dans le cas où lK = C,
d((un)n, (vn)n) ;;:: 0 et d((un)n, (vn)n) = d((vn)n, (un)n) ·
Par ailleurs d((un)n , (vn)n) = 0 si et seulement si pour tout n E N on
a 2 � . i lï���:� 1 = O. Il est évident que si les deux suites (un)n et (vn)n sont
égales alors pour tout n E N on a 2 1 n ilÏ���,� � I = O. Inversement, Comme
2 n (l + lun - vn l ) > 0, la relation 2 �. i l��,� � I = 0 pour tout n EN ne peut avoir
lieu que si lun - Vnl = 0 i.e. si Un = Vn. On en conclut que d((un)n , (vn)n) = 0
si et seulement si les deux suites (un)n et (vn)n sont égales.
- Reste à établir la première inégalité triangulaire pour d. L'application
: x E JR. + 1-+ l � x est continue et dérivable de dérivée l'application
x E JR. + 1-+ (H�x) 2 qui est strictement positive. L'application est donc strictement croissante, ce qui implique que si (x, y) E JR. + x JR. + vérifie x �y alors
X
y
(x) = - � (y) = - .
l + x
l +y
Soient (un)n, (vn)n et ( wn )n trois suites numériques. Pour tout n EN, on a:
lun - vnl � lun - wn l + lwn - vn l · En appliquant la relation précédente avec
X = lun - �n i et y= lun - Wn l + lwn - Vnl , On obtient :
lun - Vn l
lun -wn l + lwn - vn l
-'------'---- � ----'----'-----'----'-1 + lun - Vn 1 1 + lun - Wn 1 + lwn - Vn 1
Mais
donc
et
lun -wn l
lwn - vn l
1 + lun - wn l + lwn - vn l
+ 1 + lun - Wn l + lwn - vn l
.
1 + lun -wn l + lwn - Vn l ? 1 + lun - wnl ,
1 + lun - wn l + lwn - vn l ? 1 + lwn - Vnl
-----' l _ u _ n _ - _ w _ n '-- 1 ___ � lun - wn l
1 + lun - Wn l + lwn - Vn l "' 1 + lun - Wn l
lwn - Vn l
lwn - vn l
1
1 1
1
�
1
1 ·
1 + Un - Wn + Wn - Vn 1 + Wn - Vn
On en déduit que pour tout n E N
1 lun - Vnl
1 lun -Wn l
1 lwn-Vn l
-
� -
+ - ---- -
2 n 1 + lun - Vn 1 "' 2 n 1 + lun - Wn 1 2 n 1 + lwn - Vn 1