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Séries réelles à termes positifs
Démonstration Si Un "' Vn, on a limn-. +oo un/Vn = 1; il suffit d'appliquer
+oo
la proposition 1.5 dans le cas e = 1.
D
1 Si (Un )n et ( Vn )n sont deux suites réelles à termes strictement positifs telles
que Un "' Vn alors les séries L n Un et L n Vn sont de même nature mais
+oo
leur somme est en général différente.
Exemples
1 0
1
1 c
l , . """"
1
l , . """"
1
. na n ( n +l) +�
ii2 ·
omme a sene L..r n;;,l 1i2 converge, a sene L..r n;;,l n ( n +l)
converge aussi. Les sommes de ces séries sont différentes puisque
1 71"2
L n 2 = 6 et
n ;;:l
�
1 - 1
L...t n(n + 1) - '
n ;;:l
voir l'exercice 1.3 p. 8 et l'exercice 1.15 p. 53.
2. La série L n :::. 1 ln(l-.!. ) est une série à termes négatifs. On a - ln(l- .!. ) "' .!.
,,,
n
n +oo n
et L n � diverge, donc la série L n;;, 1 ln(l - �) diverge aussi.
3. Le corollaire 1.2 est très utile lorsque le terme général de la série fait intervenir des factorielles car la formule de Stirling ' 23l donne un équivalent à n! au
voisinage de +oo :
n! "' J2rn . ( � )
n
+oo
e
À titre d'illustration, déterminons la nature de la série L n n!/n n . Cette série
est à termes positifs et d'après la formule de Stirling on a
n!
Un = - "' ..fi;..;ne - n .
n n +oo
Or ' 24l , pour tout entier non peut montrer par récurrence que y'ii, e - n � 1/2 n .
Comme la série L n 1/2 n est une série géométrique convergente, le théorème 1.2
permet de conclure que la série L n y'ii, e - n converge aussi et donc que L n Un
converge.
Dans le corollaire 1.2, l'hypothèse imposant que les suites (un)n et (vn)n
soient à termes positifs est essentielle. A titre de contre-exemple, considérons
les suites (un)n et (vn)n dont les termes généraux sont
( (-l) n )
Vn =ln 1+ Vn .
Ces suites ne sont pas des suites à termes de signe constant. On a Un "' Vn
+oo
car ln(l + u) "' u mais la série L n Un converge (voir p. 43) alors que la
0
série L n Vn diverge (ceci sera établi ultérieurement, voir p. 49).
' 23l Cette formule est établie dans le Cours de première année p. 199.
' 24l Nous verrons ultérieurement des critères qui permettent de conclure directement à la
convergence de cette série, voir la proposition 1.13 p. 34.
Séries réelles à termes positifs
Démonstration Si Un "' Vn, on a limn-. +oo un/Vn = 1; il suffit d'appliquer
+oo
la proposition 1.5 dans le cas e = 1.
D
1 Si (Un )n et ( Vn )n sont deux suites réelles à termes strictement positifs telles
que Un "' Vn alors les séries L n Un et L n Vn sont de même nature mais
+oo
leur somme est en général différente.
Exemples
1 0
1
1 c
l , . """"
1
l , . """"
1
. na n ( n +l) +�
ii2 ·
omme a sene L..r n;;,l 1i2 converge, a sene L..r n;;,l n ( n +l)
converge aussi. Les sommes de ces séries sont différentes puisque
1 71"2
L n 2 = 6 et
n ;;:l
�
1 - 1
L...t n(n + 1) - '
n ;;:l
voir l'exercice 1.3 p. 8 et l'exercice 1.15 p. 53.
2. La série L n :::. 1 ln(l-.!. ) est une série à termes négatifs. On a - ln(l- .!. ) "' .!.
,,,
n
n +oo n
et L n � diverge, donc la série L n;;, 1 ln(l - �) diverge aussi.
3. Le corollaire 1.2 est très utile lorsque le terme général de la série fait intervenir des factorielles car la formule de Stirling ' 23l donne un équivalent à n! au
voisinage de +oo :
n! "' J2rn . ( � )
n
+oo
e
À titre d'illustration, déterminons la nature de la série L n n!/n n . Cette série
est à termes positifs et d'après la formule de Stirling on a
n!
Un = - "' ..fi;..;ne - n .
n n +oo
Or ' 24l , pour tout entier non peut montrer par récurrence que y'ii, e - n � 1/2 n .
Comme la série L n 1/2 n est une série géométrique convergente, le théorème 1.2
permet de conclure que la série L n y'ii, e - n converge aussi et donc que L n Un
converge.
Dans le corollaire 1.2, l'hypothèse imposant que les suites (un)n et (vn)n
soient à termes positifs est essentielle. A titre de contre-exemple, considérons
les suites (un)n et (vn)n dont les termes généraux sont
( (-l) n )
Vn =ln 1+ Vn .
Ces suites ne sont pas des suites à termes de signe constant. On a Un "' Vn
+oo
car ln(l + u) "' u mais la série L n Un converge (voir p. 43) alors que la
0
série L n Vn diverge (ceci sera établi ultérieurement, voir p. 49).
' 23l Cette formule est établie dans le Cours de première année p. 199.
' 24l Nous verrons ultérieurement des critères qui permettent de conclure directement à la
convergence de cette série, voir la proposition 1.13 p. 34.