Séries numériques
17
Démonstration 12'.: Si la suite (wn)n de terme général Wn = un/Vn converge,
'
,
•
t
(20)
, 1 0
• "f
(21)
c est necessairemen vers un ree � positI et :
On en déduit que pour tout entier n?: N 2 on a un/vn � 1 + f., c'est-à-dire que
Un � (1 + f.)vn. La proposition 1.3 et le théorème 1.2 permettent de conclure
que si la série L n Vn converge alors la série L n Un converge aussi. La seconde
assertion de la proposition est donc justifiée et pour montrer la première, il
reste à établir que si la série L n Un converge alors la série L n Vn converge
aussi.
12'.: Si la suite ( wn)n converge vers un réel f. strictement positif alors la suite ( wn)n
de terme général Wn w;;-1 converge vers e-1. Reprenant le raisonnement
précédent, on a
On en déduit que pour tout entier n ?: N 3 on a Vn/Un � 1 + e-1, c'est-à-dire
que Vn � (1 +e-1 )un. Le théorème 1.2 permet de conclure que si la série L n Un
converge, alors la série L n Vn converge aussi.
12'.: Si la suite de terme général un/vn tend vers +oo, alors la suite de terme
général vn/un tend vers O. D'après ce qui vient d'être démontré, on en déduit
que si la série L n Un converge alors la série L n Vn converge aussi. La contraposée
c22> de cette assertion est : si la série L n Vn diverge alors la série L n Un
diverge.
0
Exemples
1. La série L n� l � converge car � / .,&
vers +oo) et la série L n� l .,& converge.
2 L , . "
1 d"
1 / 1 =
. a sene L...m� l ,,;n iverge car ,,;n 7ï
vers +oo) et la série L n� l � diverge.
� tend vers 0 (quand n tend
..fii, tend vers +oo (quand n tend
COROLLAIRE 1.2 Soient (un)n et (vn)n deux suites réelles à termes strictement positifs telles que Un "' Vn. Les deux séries L n Un et L n Vn sont de
+oo
m€me nature.
c2o) Voir la proposition 5.2 p. 169 du Cours de première année.
<21> Voir la définition 5.1 p. 168 du Cours de première année concernant la convergence d'une
suite numérique. On prend ici e = 1.
<22l Voir la proposition 1.2 p. 10 du Cours de première année.
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Démonstration 12'.: Si la suite (wn)n de terme général Wn = un/Vn converge,
'
,
•
t
(20)
, 1 0
• "f
(21)
c est necessairemen vers un ree � positI et :
On en déduit que pour tout entier n?: N 2 on a un/vn � 1 + f., c'est-à-dire que
Un � (1 + f.)vn. La proposition 1.3 et le théorème 1.2 permettent de conclure
que si la série L n Vn converge alors la série L n Un converge aussi. La seconde
assertion de la proposition est donc justifiée et pour montrer la première, il
reste à établir que si la série L n Un converge alors la série L n Vn converge
aussi.
12'.: Si la suite ( wn)n converge vers un réel f. strictement positif alors la suite ( wn)n
de terme général Wn w;;-1 converge vers e-1. Reprenant le raisonnement
précédent, on a
On en déduit que pour tout entier n ?: N 3 on a Vn/Un � 1 + e-1, c'est-à-dire
que Vn � (1 +e-1 )un. Le théorème 1.2 permet de conclure que si la série L n Un
converge, alors la série L n Vn converge aussi.
12'.: Si la suite de terme général un/vn tend vers +oo, alors la suite de terme
général vn/un tend vers O. D'après ce qui vient d'être démontré, on en déduit
que si la série L n Un converge alors la série L n Vn converge aussi. La contraposée
c22> de cette assertion est : si la série L n Vn diverge alors la série L n Un
diverge.
0
Exemples
1. La série L n� l � converge car � / .,&
vers +oo) et la série L n� l .,& converge.
2 L , . "
1 d"
1 / 1 =
. a sene L...m� l ,,;n iverge car ,,;n 7ï
vers +oo) et la série L n� l � diverge.
� tend vers 0 (quand n tend
..fii, tend vers +oo (quand n tend
COROLLAIRE 1.2 Soient (un)n et (vn)n deux suites réelles à termes strictement positifs telles que Un "' Vn. Les deux séries L n Un et L n Vn sont de
+oo
m€me nature.
c2o) Voir la proposition 5.2 p. 169 du Cours de première année.
<21> Voir la définition 5.1 p. 168 du Cours de première année concernant la convergence d'une
suite numérique. On prend ici e = 1.
<22l Voir la proposition 1.2 p. 10 du Cours de première année.