16
Séries réelles à termes positifs
où (Un)n est la suite des sommes partielles associée à la série L n Un. On déduit
de la relation (4) que les suites de terme général Wn et Up N+1_ 1 sont de même
1
. (W )
.
è
.
· < 1 9 i d 1
nature et que a smte n n est, au terme uo pr s, une suite extraite
e a
suite (Un)n· Cela implique
- d'une part que si la suite (Un)n converge, la suite (Wn)n converge ;
- d'autre part que, si la suite (Un)n diverge, alors, comme elle est strictement
croissante, elle tend nécessairement vers +oo ce qui implique que la suite
(Wn )n tend également vers +oo (et donc diverge) .
En conclusion, les deux suites de sommes partielles (Un)n et (Wn)n et par
conséquent les deux séries L n Un et L n Wn sont de même nature.
Montrons à présent que les deux séries L n Vn et L n Wn sont de même nature.
Comme la suite (un)n est une suite décroissante de réels positifs, pour tout
k E {p n , ... , p n +l - 1} on a: Upn+l � U k � Upn · On en déduit que :
Or,
pn+1 _ 1
pn+l_ l
L Upn+l � Wn � L Upn •
pn+1_ 1
L Upn+l = (p - l)p n Upn+l = (p - l)p - 1 Vn+i
k= pn
pn+1 _ 1
et
L Upn = (p - l)p n Upn = (p - l)vn.
Le théorème 1.2, permet de déduire de la relation
(p - l)p - 1 Vn +i � Wn � (p - l)vn,
- d'une part que si la série L n Wn converge alors la série de terme général
(p - l)p- 1 vn +l converge (et donc L n Vn converge aussi) ;
- et d'autre part que si la série L n Vn converge alors la série L n Wn converge
(car les deux séries L n Vn et L n (P - l)vn sont de même nature).
Finalement, on peut conclure que les trois séries L n Un, L n Wn et L n Vn sont
de même nature.
Un autre critère de comparaison très utile est fourni par la proposition suivante.
PROPOSITION 1.5 Soient (un)n et (vn)n deux suites réelles à termes strictement positifs à partir d'un certain rang telles que la suite de terme général
Un/Vn admette pour limite f E JR +
U { +oo }.
1 . Si e > 0 alors les deux séries L n Un et L n Vn sont de méme nature.
2. Si f = 0 et si la série L n Vn converge alors la série L n Un converge aussi.
3 . Si e = +oo et si la série L n Vn diverge alors la série L n Un diverge aussi.
< 1 9 > En effet, comme p > 1, l'application n EN>-+ p n+l - 1 EN est strictement croissante.
Séries réelles à termes positifs
où (Un)n est la suite des sommes partielles associée à la série L n Un. On déduit
de la relation (4) que les suites de terme général Wn et Up N+1_ 1 sont de même
1
. (W )
.
è
.
· < 1 9 i d 1
nature et que a smte n n est, au terme uo pr s, une suite extraite
e a
suite (Un)n· Cela implique
- d'une part que si la suite (Un)n converge, la suite (Wn)n converge ;
- d'autre part que, si la suite (Un)n diverge, alors, comme elle est strictement
croissante, elle tend nécessairement vers +oo ce qui implique que la suite
(Wn )n tend également vers +oo (et donc diverge) .
En conclusion, les deux suites de sommes partielles (Un)n et (Wn)n et par
conséquent les deux séries L n Un et L n Wn sont de même nature.
Montrons à présent que les deux séries L n Vn et L n Wn sont de même nature.
Comme la suite (un)n est une suite décroissante de réels positifs, pour tout
k E {p n , ... , p n +l - 1} on a: Upn+l � U k � Upn · On en déduit que :
Or,
pn+1 _ 1
pn+l_ l
L Upn+l � Wn � L Upn •
pn+1_ 1
L Upn+l = (p - l)p n Upn+l = (p - l)p - 1 Vn+i
k= pn
pn+1 _ 1
et
L Upn = (p - l)p n Upn = (p - l)vn.
Le théorème 1.2, permet de déduire de la relation
(p - l)p - 1 Vn +i � Wn � (p - l)vn,
- d'une part que si la série L n Wn converge alors la série de terme général
(p - l)p- 1 vn +l converge (et donc L n Vn converge aussi) ;
- et d'autre part que si la série L n Vn converge alors la série L n Wn converge
(car les deux séries L n Vn et L n (P - l)vn sont de même nature).
Finalement, on peut conclure que les trois séries L n Un, L n Wn et L n Vn sont
de même nature.
Un autre critère de comparaison très utile est fourni par la proposition suivante.
PROPOSITION 1.5 Soient (un)n et (vn)n deux suites réelles à termes strictement positifs à partir d'un certain rang telles que la suite de terme général
Un/Vn admette pour limite f E JR +
U { +oo }.
1 . Si e > 0 alors les deux séries L n Un et L n Vn sont de méme nature.
2. Si f = 0 et si la série L n Vn converge alors la série L n Un converge aussi.
3 . Si e = +oo et si la série L n Vn diverge alors la série L n Un diverge aussi.
< 1 9 > En effet, comme p > 1, l'application n EN>-+ p n+l - 1 EN est strictement croissante.