Séries numériques
15
Exemples
1. Pour tout entier n � 2 on a n(n - 1) ::::;: n 2 donc r& ::::;: n(n 1 _ 1 ) . Comme la
série de terme général n ( n 1 _ 1 ) converge (voir p. 5), la série de terme général r&
converge aussi. On peut par ailleurs montrer (voir l'exercice 1.15 p. 53) que sa
somme vaut
2. Pour tout n EN avec n � 2 on a 0 < ln(n) ::::;: net par conséquent ln C n ) � �
Comme la série L n� l � diverge, on en déduit que la série L n� 2 i n { n ) diverge
aussi.
1 On sera vigilant au fait que le résultat du théorème 1.2 n'est valable que pour
des séries à termes positifs. Par exemple, pour tout n EN* on a-� ::::;: ( - � ) n
et la série L n -� diverge alors que la série L n ( - � ) n converge.
Remarque Si L n Un est une série à termes positifs convergente alors
limn -++oo Un = 0 et à partir d'un certain rang N, tous les termes de la suite
(un)n sont compris entre 0 et 1. Comme pour tout x E !O, 1] on a x 2 ::::;: x, on en
déduit que pour tout n � Non a 0 ::::;: u; ::::;: Un· Le théorème 1.2 permet d'en
déduire que la série L n u; converge. De même, on montre que si L n Un est
une série à termes positifs convergente, alors pour tout p E N* la série L n u�
converge.
On sera vigilant au fait que ce résultat n'est vrai que pour des séries à termes
positifs. Par exemple, la série L n Un où Un = (-1 r / Vn converge (voir p. 6)
mais u; = 1/n et la série L n 1/n diverge.
o
Exercice 1.4 Soient L n Un et L n Vn deux séries à termes positifs qui
convergent.
1 - Montrer que pour tout n E Non a Jun x Vn ::::;: �(un + vn), puis en
utilisant le théorème 1.2, que la série L n Jun x Vn converge.
2 - Montrer que la série L n Un x Vn converge.
Exemple Soient ( un)n une suite décroissante de réels strictement positifs
et p E N tel que p � 2. Montrons que les séries de terme général Un et
Vn = p n upn sont de même nature. Ce résultat est connu sous le nom de règle
de la loupe.
Tout d'abord, considérons la série de terme général Wn = L�:
+
� - l U k . Le terme
général Wn de la suite des sommes partielles associée à la série I= n Wn est donné
par
n
n pt +1 _ l
p n+l _l
Wn = L w e = L L U k = L Un = U pn+' - 1 - Uo
l=O
l=O k=pt
l=l
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Exemples
1. Pour tout entier n � 2 on a n(n - 1) ::::;: n 2 donc r& ::::;: n(n 1 _ 1 ) . Comme la
série de terme général n ( n 1 _ 1 ) converge (voir p. 5), la série de terme général r&
converge aussi. On peut par ailleurs montrer (voir l'exercice 1.15 p. 53) que sa
somme vaut
2. Pour tout n EN avec n � 2 on a 0 < ln(n) ::::;: net par conséquent ln C n ) � �
Comme la série L n� l � diverge, on en déduit que la série L n� 2 i n { n ) diverge
aussi.
1 On sera vigilant au fait que le résultat du théorème 1.2 n'est valable que pour
des séries à termes positifs. Par exemple, pour tout n EN* on a-� ::::;: ( - � ) n
et la série L n -� diverge alors que la série L n ( - � ) n converge.
Remarque Si L n Un est une série à termes positifs convergente alors
limn -++oo Un = 0 et à partir d'un certain rang N, tous les termes de la suite
(un)n sont compris entre 0 et 1. Comme pour tout x E !O, 1] on a x 2 ::::;: x, on en
déduit que pour tout n � Non a 0 ::::;: u; ::::;: Un· Le théorème 1.2 permet d'en
déduire que la série L n u; converge. De même, on montre que si L n Un est
une série à termes positifs convergente, alors pour tout p E N* la série L n u�
converge.
On sera vigilant au fait que ce résultat n'est vrai que pour des séries à termes
positifs. Par exemple, la série L n Un où Un = (-1 r / Vn converge (voir p. 6)
mais u; = 1/n et la série L n 1/n diverge.
o
Exercice 1.4 Soient L n Un et L n Vn deux séries à termes positifs qui
convergent.
1 - Montrer que pour tout n E Non a Jun x Vn ::::;: �(un + vn), puis en
utilisant le théorème 1.2, que la série L n Jun x Vn converge.
2 - Montrer que la série L n Un x Vn converge.
Exemple Soient ( un)n une suite décroissante de réels strictement positifs
et p E N tel que p � 2. Montrons que les séries de terme général Un et
Vn = p n upn sont de même nature. Ce résultat est connu sous le nom de règle
de la loupe.
Tout d'abord, considérons la série de terme général Wn = L�:
+
� - l U k . Le terme
général Wn de la suite des sommes partielles associée à la série I= n Wn est donné
par
n
n pt +1 _ l
p n+l _l
Wn = L w e = L L U k = L Un = U pn+' - 1 - Uo
l=O
l=O k=pt
l=l
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