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Séries réelles à termes positifs
Pour une série numérique à termes positifs, seuls deux cas sont possibles : soit
elle converge (et a pour somme un réel positif), soit elle diverge en ayant une
somme infinie (i.e. la suite des sommes partielles associée à cette série tend
vers +oo).
1.2.2 Critères de comparaison
THÉORÈME 1.2 Soient (un)n et (vn)n deux suites réelles à termes positifs
telles que
3N EN \:/n EN (n � N ==>Un :,;; vn) ·
- Si la série L n Vn converge alors la série L n Un converge.
- Si la série L n Un diverge alors la série L n Vn diverge.
Démonstration � Supposons que la série L n Vn converge et notons v sa
somme. Pour montrer que la série L n Un converge, montrons que la suite des
sommes partielles (Un)n associée à cette série converge. Par hypothèse,
3N EN \:/n E N (n � N ==>Un :,;; Vn).
Pour tout entier n � N, on a
N -1
n
N -1
n
N -1
Un = L U k + L U k :,;; L U k + L V k :,;; L U k + 11.
k=O
k=N
k=O
k=N
k=O
La dernière inégalité résulte du fait que la série L n Vn étant une série à termes
positifs et convergente, de somme v, on a
n
+oo
+oo
L V k :,;; L V k :,;; L V k = 1/ .
k=N
k=N
k=O
La suite des sommes partielles (Un)n associée à la série à termes positifs L n Un
est donc majorée. D'après la proposition 1.4, cela permet de conclure que la
série L n Un converge.
!2". La seconde assertion est la contraposée de la première. Elle est donc vraie
c iai
.
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Remarque Dans le cas de séries toutes les deux à termes négatifs, la conclusion
du théorème 1 .2 est encore vraie sous l'hypothèse suivante :
3N EN \:/n EN (n � N ==> Vn :,;; Un) ·
Noter que le sens de l'inégalité est inversé.
( ia) Voir le Cours de première année, proposition 1.2 p. 10.
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