Séries numériques
1.2 Séries réelles à termes positifs
1.2.1 Propriétés générales
13
On a vu que l'on ne change pas la nature d'une série lorsque l'on modifie un
nombre fini de ses termes. Les résultats énoncés dans cette partie concernant la
nature des séries réelles à termes positifs seront donc également valables pour
des séries à termes positifs à partir d'un certain rang.
Par ailleurs, si L n Un est une série à termes négatifs alors d'après la proposition 1.3, la série L n -un est une série à termes positifs qui est de même
nature que la série L n Un· Les résultats qui seront énoncés dans cette partie
s'appliqueront donc d'une manière plus générale aux séries de signe constant à
partir d'un certain rang. On sera toutefois vigilant au fait que pour une série à
termes négatifs, dans les résultats faisant intervenir des relations de comparaison { �, � ), celles-ci doivent être inversées.
PROPOSITION 1.4 Une condition nécessaire et suffisante pour qu 'une série
L n Un à termes positifs converge est que la suite des sommes partielles associée à cette série soit majorée, i.e. que
n
3M E JR + Vn E N L U k � M .
k=O
Démonstration Soit L n Un une série à termes positifs. La suite (Un )n des
sommes partielles associée à cette série est une suite croissante puisque :
Vn EN
Or, toute suite croissante et majorée converge < 16 > . Donc si la suite des sommes
partielles est majorée, elle converge et par conséquent la série L n Un aussi.
Par ailleurs < 1 7> , toute suite croissante et non majorée tend vers +oo. Donc si
la suite des sommes partielles n'est pas majorée, elle tend vers +oo et la série
L n Un diverge. L'équivalence est établie.
0
COROLLAIRE 1.1 Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une série à
termes positifs diverge est que la suite des sommes partielles associée à cette
série ne soit pas majorée.
Démonstration Il s'agit de la négation de l'équivalence établie à la proposition 1.4.
0
(lG) Voir Je Cours de première année, proposition 5.16 p. 183.
< 1 7> Voir le Cours de première année, proposition 5.17 p. 184.
1.2 Séries réelles à termes positifs
1.2.1 Propriétés générales
13
On a vu que l'on ne change pas la nature d'une série lorsque l'on modifie un
nombre fini de ses termes. Les résultats énoncés dans cette partie concernant la
nature des séries réelles à termes positifs seront donc également valables pour
des séries à termes positifs à partir d'un certain rang.
Par ailleurs, si L n Un est une série à termes négatifs alors d'après la proposition 1.3, la série L n -un est une série à termes positifs qui est de même
nature que la série L n Un· Les résultats qui seront énoncés dans cette partie
s'appliqueront donc d'une manière plus générale aux séries de signe constant à
partir d'un certain rang. On sera toutefois vigilant au fait que pour une série à
termes négatifs, dans les résultats faisant intervenir des relations de comparaison { �, � ), celles-ci doivent être inversées.
PROPOSITION 1.4 Une condition nécessaire et suffisante pour qu 'une série
L n Un à termes positifs converge est que la suite des sommes partielles associée à cette série soit majorée, i.e. que
n
3M E JR + Vn E N L U k � M .
k=O
Démonstration Soit L n Un une série à termes positifs. La suite (Un )n des
sommes partielles associée à cette série est une suite croissante puisque :
Vn EN
Or, toute suite croissante et majorée converge < 16 > . Donc si la suite des sommes
partielles est majorée, elle converge et par conséquent la série L n Un aussi.
Par ailleurs < 1 7> , toute suite croissante et non majorée tend vers +oo. Donc si
la suite des sommes partielles n'est pas majorée, elle tend vers +oo et la série
L n Un diverge. L'équivalence est établie.
0
COROLLAIRE 1.1 Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une série à
termes positifs diverge est que la suite des sommes partielles associée à cette
série ne soit pas majorée.
Démonstration Il s'agit de la négation de l'équivalence établie à la proposition 1.4.
0
(lG) Voir Je Cours de première année, proposition 5.16 p. 183.
< 1 7> Voir le Cours de première année, proposition 5.17 p. 184.