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Définitions et premiêres propriétés
PROPOSITION 1.3
�Soient L n Un et L n Vn deux séries numeriques convergentes de sommes
respectives µ et v et À un scalaire. On a les propriétés suivantes :
- la série L n (un + vn) converge et sa somme vaut µ + v ;
- la série L n (,).un) converge et sa somme vaut Àµ.
�Soient L n Un une série numérique convergente, L n Vn une série numérique
divergente et À un scalaire non nul. On a les propriétés suivantes :
- la série L n (Un + Vn) diverge;
- la série L n (Àvn) diverge.
Démonstration Ces propriétés résultent de manière immédiate des propriétés des suites numériques < 1 4 > en considérant les suites des sommes partielles
associées à ces séries.
D
Remarques
1 . Il résulte de la proposition 1.3 que l'ensemble des suites numériques dont la
é .
. ,
. l ( lS ) d l'
. 1 d
s ne assoc1ee converge est un sous-espace vectone
e espace vectone es
suites convergentes.
2. Par ailleurs, si À est un scalaire non nul alors les séries L n (Àun) et L n Un
sont de même nature. Cette propriété est très fréquemment utilisée lors de
l'étude de la nature d'une série numérique. Par exemple, on peut affirmer que
la série L n � converge car on a établi que la série L n � convergeait. De plus,
"+oc 2 2
" +oc 1 2
L. m=O ni = L.. n =O ni = e.
3. Enfin, la proposition 1.3 permet d'affirmer qu'une série complexe L n Un
converge si et seulement si les deux séries réelles L n Re( Un) et L n Im( Un)
convergent. De plus, dans ce cas L�:O Un = L�:O Re(un)+i L�:C, Im(un) · o
1 Si la série L n Un converge et si la série L n Vn diverge alors la série
L n (un + Vn) diverge. Mais si les deux séries L n Un et L n Vn divergent,
la série L n (Un + vn) peut, selon les cas, ou bien converger ou bien diverger
(voir les exemples suivants) .
Exemples
1. On a vu précédemment que la série L n:;;: l ( - � ) n converge et a pour somme
- ln(2) et que la série L n:;;: l � diverge. D'après la proposition 1.3, la série
L n :;,: 1 ( ( -�)n + �) diverge.
2. Les séries L n:;;: l � et L n:;;: l -;,, 1 divergent. La série L n:;;: l (� + -;,_ 1 ) est la
série nulle qui converge et qui a pour somme O.
< 1 4 > Voir le Cours de première année, proposition 5.8 p. 175.
(is) Voir le chap. 8 du Cours de première année.