Séries numériques
11
- si la suite (Vn)n converge vers v alors (Un)n converge vers v +UN - VN ;
- si la suite (Un)n converge vers µ alors (Vn)n converge vers µ - UN + VN ;
- si l'une des deux suites diverge, l'autre diverge aussi.
Le résultat est démontré.
0
Exemple Les séries L n ;;.1 ln(n - �)/n 2 et L n ;;:1 l ln(n - !)l!n 2 sont de même
nature : comme ln(x) � 0 pour tout x � 1, elles ne diffèrent que par leur
premier terme qui vaut respectivement - ln(2) et ln(2).
1 Si les deux suites (un)n et (vn)n ne diffèrent que par un nombre fini de
termes alors les séries L n Un et L n Vn sont de même nature mais si elles
convergent leur somme est en général différente.
PROPOSITION 1.2 Une condition nécessaire pour que la série L n Un convergt
est que la suite (un)n converge vers O.
Démonstration Supposons que la série L n Un converge et que sa somme est
égale à µ où µ E K D'après la définition 1.2, la suite des sommes partielles
(Un)n converge vers µ. De plus, la suite de terme général Sn = Un - 1 (n E N*)
converge aussi vers µ (cette suite est formée des mêmes termes que la suite
(Un)n, seul l'indicage des termes est modifié). Puisque pour tout n E N* on a
Un = Un - Un - 1 , on en déduit que la suite (un)n converge vers O.
0
Remarque On dispose là d'un critère simple permettant d'établir qu'une série
diverge. Si le terme général de la série ne tend pas vers 0 quand n tend vers +oo,
alors la série diverge nécessairement. On qualifie dans ce cas la divergence de
la série de divergence grossière.
o
Exemples
1. La série L n sin(n) diverge grossièrement car la suite de terme général sin(n)
diverge.
2. La série L n n�l diverge grossièrement car limn-+ + = n�l = 1.
1 Le fait que le terme général d'une série doive tendre vers 0 est une condition
nécessaire mais pas suffisante pour que la série converge. Nous avons établi
précédemment que la série de terme général ln(l + l) divergeait et pourtant
.
1
n
hmn-+ + = ln(l + n) =o.
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- si la suite (Vn)n converge vers v alors (Un)n converge vers v +UN - VN ;
- si la suite (Un)n converge vers µ alors (Vn)n converge vers µ - UN + VN ;
- si l'une des deux suites diverge, l'autre diverge aussi.
Le résultat est démontré.
0
Exemple Les séries L n ;;.1 ln(n - �)/n 2 et L n ;;:1 l ln(n - !)l!n 2 sont de même
nature : comme ln(x) � 0 pour tout x � 1, elles ne diffèrent que par leur
premier terme qui vaut respectivement - ln(2) et ln(2).
1 Si les deux suites (un)n et (vn)n ne diffèrent que par un nombre fini de
termes alors les séries L n Un et L n Vn sont de même nature mais si elles
convergent leur somme est en général différente.
PROPOSITION 1.2 Une condition nécessaire pour que la série L n Un convergt
est que la suite (un)n converge vers O.
Démonstration Supposons que la série L n Un converge et que sa somme est
égale à µ où µ E K D'après la définition 1.2, la suite des sommes partielles
(Un)n converge vers µ. De plus, la suite de terme général Sn = Un - 1 (n E N*)
converge aussi vers µ (cette suite est formée des mêmes termes que la suite
(Un)n, seul l'indicage des termes est modifié). Puisque pour tout n E N* on a
Un = Un - Un - 1 , on en déduit que la suite (un)n converge vers O.
0
Remarque On dispose là d'un critère simple permettant d'établir qu'une série
diverge. Si le terme général de la série ne tend pas vers 0 quand n tend vers +oo,
alors la série diverge nécessairement. On qualifie dans ce cas la divergence de
la série de divergence grossière.
o
Exemples
1. La série L n sin(n) diverge grossièrement car la suite de terme général sin(n)
diverge.
2. La série L n n�l diverge grossièrement car limn-+ + = n�l = 1.
1 Le fait que le terme général d'une série doive tendre vers 0 est une condition
nécessaire mais pas suffisante pour que la série converge. Nous avons établi
précédemment que la série de terme général ln(l + l) divergeait et pourtant
.
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n
hmn-+ + = ln(l + n) =o.