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Définitions et premières propriétés
Exemple La série L n;;;, l �' appelée série harmonique, diverge. Pour l'établir,
montrons que cette série ne satisfait pas au critère de Cauchy. Il s'agit de vérifier
( 1 2 )
que
Étant donné NE N, considérons les entiers m = 2 N et n = 2 N + i ; on a
1
2 N +l
1
2'
(3)
car dans la somme, il y a 2 N + 1 - 2 N + 1 termes positifs tous supérieurs à �.
Cela permet d'affirmer que L� =m Î > ;. On a donc montré l'assertion (3) avec
E: = �· On en déduit que la série L n;;;, i n ne vérifie pas le critère de Cauchy ; il
s'agit donc d'une série divergente. Il est par ailleurs aisé de vérifier que la suite
des sommes partielles (Sn)n est à termes positifs et strictement croissante (et
non majorée, sans quoi elle convergerait). La suite (Sn)n tend donc vers +oo.
1.1.3 Premières propriétés
PROPOSITION 1.1 Si les deux suites (un)n et (vn)n ne diffèrent que par un
nombre fini de termes, c'est-à-dire si
3N E N 'Vn E N (n ? N ==? Vn = Un)
alors les séries L n Un et L n Vn sont de m�me nature :
- ou bien elles convergent toutes les deux;
- ou bien elle divergent toutes les deux.
Démonstration Les suites des sommes partielles (Un)n et (Vn)n associées
aux deux séries L n Un et L n Vn vérifient pour n > N :
n
N
n
n
Un
L U k = L uk + L U k = U N + L U k,
k=O
k=O
k=N +l
k=N +l
n
N
n
n
Vn
L V k = L V k + L V k = V N + L V k·
k=O
k=O
k=N +l
k=N +l
Puisque U k = V k pour tout entier n ? N, on en déduit que Un - Vn = U N - V N
et par conséquent que Un = Vn +(U N - V N ) Comme la quantité U N - V N est
. d' d
d
1
( l 3 )
m epen ante e n, on en conc ut que :
< 1 2 ) Cette assertion quantifiée est la négation de celle définissant le critère de Cauchy dans la
proposition 1.1.
< 1 3> Voir le Cours de première année, proposition 5.8 p. 175.