Séries numériques
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CAUCHY, Augustin-Louis (1789, Paris - 1857, Sceaux) .
Augustin-Louis Cauchy commence sa carrière comme ingénieur
militaire. En 1816, il obtient un poste de professeur à la Faculté
des Sciences de Paris et à !'École Polytechnique et entre à l'Académie des Sciences. L'œuvre de Cauchy est considérable, surtout
en analyse où il a su donner le cadre rigoureux nécessaire à son
développement. Il a introduit une notion précise de continuité
et a élaboré une définition rigoureuse de l'intégrale. Son travail
concerne tous les domaines des mathématiques, en particulier
les équations différentielles, la théorie des groupes et l'algèbre
linéaire.
1.1.2 Critère de Cauchy
THÉORÈME 1.1 (Critère de Cauchy)
Une condition nécessaire et suffisante pour que la série numérique L n Un
converge est qu 'elle vérifie le critère de Cauchy :
n
Vt: E IR'.f- 3N EN V(m, n) E N 2 (n? m? N ===? 1 L ukl � t:) .
k=m
Démonstration La série numérique L n Un converge si et seulement si la suite
des sommes partielles (Un)n qui lui est associée converge. Or, une suite numérique converge si et seulement s'il s'agit d'une suite de Cauchy < 1 0> . Ainsi la série
numérique L n Un converge si et seulement si la suite (Un)n de terme général
U "i\""" n
'
d C h ' ' d " ( ll) ·
n = L.J k=D U k est une smte e auc y, c est-a- ire s1
Soit t: un réel strictement positif et N = N ± 1 où N est défini par l'assertion (2).
Pour tous réels m et n tels que n ? m ? N + 1 on a
n
L U k = IUn - U m - 1 1 � é
k=m
d'après l'assertion (2) où p = m - 1. Le résultat est établi.
< 1 0> Voir le Cours de première année, théorème 5.4 p. 191.
( 1 l ) Voir le Cours de première année, définition 5.8 p. 191.
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