Séries numériques
19
En complément au corollaire 1.2, l'exercice suivant permet de montrer que,
dans le cas de séries à termes positifs convergentes, si les termes généraux de
deux séries sont équivalents au voisinage de +oo, alors leurs restes d'ordre n
sont également équivalents au voisinage de +oo.
Exercice 1.5 Soient (un)n et (vn)n deux suites réelles à termes strictement positifs à partir d'un certain rang telles que Un "' Vn · On suppose que
+oo
la série L n Vn converge et on considère les restes d'ordre n associés aux deux
séries L n Un et L n Vn définis par Rn = L t,: + 1 Uk et R� = L t,: + 1 V k .
1 - Montrer que : Ve E JR.+ 3N EN Vn EN (n ? N =? lun - vnl � evn) .
2 - En déduire que :
Ve E IR.� 3N EN Vn EN (n ? N ==? IR� - Rnl � eR�) .
3 - Conclure que Rn "' R�.
+oo
COROLLAIRE 1.3 Soient (un)n et (vn)n deux suites réelles à termes strictement positifs telles que Un = 0+00 (vn) ·
)( Si la série L n Vn converge alors la série L n Un converge aussi.
)( Si la série L n Un diverge alors la série L n Vn diverge aussi.
Démonstration !?: Si Un = 0+00(vn) alors limn .... . +oo Un/Vn =O. Il suffit d'appliquer la proposition 1.5 (dans le cas f = 0) pour établir que si la série L n Vn
converge alors la série L n Un converge aussi.
!?: Si Un = O +oo (vn) alors limn .... . +oo Un/Vn = 0 et puisque (un)n et (vn)n
sont deux suites réelles à termes positifs on a limn .... . +oo vn/un = +oo. Il suffit
d'appliquer la proposition 1.5 (dans le cas f = +oo) pour établir que si la série
L n Un diverge alors la série L n Vn diverge.
0
Exemples
1. La série L n 2 l�(n)
n �2
converge.
1
( 1 )
1
converge car n 2 ln(n) = 0+00 n 2 et la série L n 2
n �l
2 L ' . "' 1
d"
1
( 1 ) 1 , . "' 1
. a sene L.J foln(n) iverge car :;: = 0+00 foln(n) et a sene L.J :;:
n �2
n �l
diverge.
Le lecteur attentif aura remarqué que les résultats utilisés pour l'étude de la
nature des séries numériques sont très voisins dans leur forme de ceux énoncés
dans le chapitre consacré aux intégrales généralisées ( chap. 19 du Cours de
première année). La proposition suivante permet d'en saisir la raison.
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En complément au corollaire 1.2, l'exercice suivant permet de montrer que,
dans le cas de séries à termes positifs convergentes, si les termes généraux de
deux séries sont équivalents au voisinage de +oo, alors leurs restes d'ordre n
sont également équivalents au voisinage de +oo.
Exercice 1.5 Soient (un)n et (vn)n deux suites réelles à termes strictement positifs à partir d'un certain rang telles que Un "' Vn · On suppose que
+oo
la série L n Vn converge et on considère les restes d'ordre n associés aux deux
séries L n Un et L n Vn définis par Rn = L t,: + 1 Uk et R� = L t,: + 1 V k .
1 - Montrer que : Ve E JR.+ 3N EN Vn EN (n ? N =? lun - vnl � evn) .
2 - En déduire que :
Ve E IR.� 3N EN Vn EN (n ? N ==? IR� - Rnl � eR�) .
3 - Conclure que Rn "' R�.
+oo
COROLLAIRE 1.3 Soient (un)n et (vn)n deux suites réelles à termes strictement positifs telles que Un = 0+00 (vn) ·
)( Si la série L n Vn converge alors la série L n Un converge aussi.
)( Si la série L n Un diverge alors la série L n Vn diverge aussi.
Démonstration !?: Si Un = 0+00(vn) alors limn .... . +oo Un/Vn =O. Il suffit d'appliquer la proposition 1.5 (dans le cas f = 0) pour établir que si la série L n Vn
converge alors la série L n Un converge aussi.
!?: Si Un = O +oo (vn) alors limn .... . +oo Un/Vn = 0 et puisque (un)n et (vn)n
sont deux suites réelles à termes positifs on a limn .... . +oo vn/un = +oo. Il suffit
d'appliquer la proposition 1.5 (dans le cas f = +oo) pour établir que si la série
L n Un diverge alors la série L n Vn diverge.
0
Exemples
1. La série L n 2 l�(n)
n �2
converge.
1
( 1 )
1
converge car n 2 ln(n) = 0+00 n 2 et la série L n 2
n �l
2 L ' . "' 1
d"
1
( 1 ) 1 , . "' 1
. a sene L.J foln(n) iverge car :;: = 0+00 foln(n) et a sene L.J :;:
n �2
n �l
diverge.
Le lecteur attentif aura remarqué que les résultats utilisés pour l'étude de la
nature des séries numériques sont très voisins dans leur forme de ceux énoncés
dans le chapitre consacré aux intégrales généralisées ( chap. 19 du Cours de
première année). La proposition suivante permet d'en saisir la raison.