Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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la première des inégalités résultant de l'inégalité triangulaire, la seconde du fait
que pour tout i E {1, ... ,p} on a l xi l � ll x lloo, JKv. Ainsi, si l'on note C le réel
strictement positif 2:: f= 1 v(ei) on a v(x) � C ll x lloo, JKv et ll x lloo,IK" ;?: tJ v(x).
On remarquera que pour obtenir cette première inégalité, il n'a pas été fait
usage de l'hypothèse de récurrence.
1> Montrons à présent qu'il existe un réel strictement positif C 2 tel que pour
tout x E JKP on ait ll x ll00,ocv � C 2 v(x). Pour cela raisonnons par l'absurde et
supposons qu'un tel réel n'existe pas, c'est-à-dire supposons que :
Remarquons que nécessairement x est non nul car 1101100, ocv = v(O) = O. On
déduit (en prenant des réels C 2 de la forme C 2 = n où n E N*) que :
Fixons net notons io l'entier vérifiant l x� ; ) 1 = max iE{ l, ... ,p} l x� n ) 1 ; on a l x� ; ) 1 =
ll x( n ) lloo,iK' " Le scalaire x�; ) est non nul (car x ( n ) est non nul) et si l'on note
:X: ( n ) = x < n l /x � n ) on obtient
io
Il , ( n ) Il
_
ll x( n ) lloo,IKP _ l
X
oo ]KP -
-
'
l x� ; ) I
On déduit alors de l'assertion (8) que :
et
( ( n ) )
( ' ( n ) )
_
V X
V X
-
( )
.
l x i; 1
L'entier io dépend bien entendu de n et prend ses valeurs dans l'ensemble
I = {1, . . . ,p}. Lorsque n décrit N, comme I est fini, il y a (au moins) une valeur
de l'ensemble I qui correspond à l'indice io un nombre infini de fois. Autrement
dit, il existe ]o E {1, . .. ,p} tel que l'ensemble S = {n EN* ; io(n) = jo} est
infini. On a donc démontré l'assertion suivante :
3j 0 E{l, ... ,p} Vn ES 3x ( n ) EB'(0, 1) (x1� ) =1 et v(x ( n ) )
I l · 1100,oc v. Comme S est un sous-ensemble infini de N, on peut extraire de la
suite (x ( n ) )n une sous-suite (:X ( n ) )n construite en ne considérant que les termes
d'indice n appartenant à S. On obtient alors l'assertion suivante :
Considérons à présent le sous-espace vectoriel F = {x E JKP ; Xj o = O} de
dimension p - 1 dans JKP que l'on identifie (83> à ocv- 1 . En restriction à F, les
(83) Voir p. 363.
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la première des inégalités résultant de l'inégalité triangulaire, la seconde du fait
que pour tout i E {1, ... ,p} on a l xi l � ll x lloo, JKv. Ainsi, si l'on note C le réel
strictement positif 2:: f= 1 v(ei) on a v(x) � C ll x lloo, JKv et ll x lloo,IK" ;?: tJ v(x).
On remarquera que pour obtenir cette première inégalité, il n'a pas été fait
usage de l'hypothèse de récurrence.
1> Montrons à présent qu'il existe un réel strictement positif C 2 tel que pour
tout x E JKP on ait ll x ll00,ocv � C 2 v(x). Pour cela raisonnons par l'absurde et
supposons qu'un tel réel n'existe pas, c'est-à-dire supposons que :
Remarquons que nécessairement x est non nul car 1101100, ocv = v(O) = O. On
déduit (en prenant des réels C 2 de la forme C 2 = n où n E N*) que :
Fixons net notons io l'entier vérifiant l x� ; ) 1 = max iE{ l, ... ,p} l x� n ) 1 ; on a l x� ; ) 1 =
ll x( n ) lloo,iK' " Le scalaire x�; ) est non nul (car x ( n ) est non nul) et si l'on note
:X: ( n ) = x < n l /x � n ) on obtient
io
Il , ( n ) Il
_
ll x( n ) lloo,IKP _ l
X
oo ]KP -
-
'
l x� ; ) I
On déduit alors de l'assertion (8) que :
et
( ( n ) )
( ' ( n ) )
_
V X
V X
-
( )
.
l x i; 1
L'entier io dépend bien entendu de n et prend ses valeurs dans l'ensemble
I = {1, . . . ,p}. Lorsque n décrit N, comme I est fini, il y a (au moins) une valeur
de l'ensemble I qui correspond à l'indice io un nombre infini de fois. Autrement
dit, il existe ]o E {1, . .. ,p} tel que l'ensemble S = {n EN* ; io(n) = jo} est
infini. On a donc démontré l'assertion suivante :
3j 0 E{l, ... ,p} Vn ES 3x ( n ) EB'(0, 1) (x1� ) =1 et v(x ( n ) )
I l · 1100,oc v. Comme S est un sous-ensemble infini de N, on peut extraire de la
suite (x ( n ) )n une sous-suite (:X ( n ) )n construite en ne considérant que les termes
d'indice n appartenant à S. On obtient alors l'assertion suivante :
Considérons à présent le sous-espace vectoriel F = {x E JKP ; Xj o = O} de
dimension p - 1 dans JKP que l'on identifie (83> à ocv- 1 . En restriction à F, les
(83) Voir p. 363.