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Suites dans un espace métrique
deux applications v et JI · lloo,IK P induisent des normes qui, par hypothèse de
récurrence, sont équivalentes. Désignons par vp la norme qui est issue de la
restriction à F de v.
Comme pour tout n E N on a x):> = 1, il existe un élément yCn) dans F
tel que :X: ( n ) = e 10 + y( n ) . Intéressons-nous à la suite (yC n ) ) n · On a pour tout
( m, n) E N* x N*,
vp(y( n )
_
y C m ) )
Vp (y( n ) + e j0 - (y( m ) + e 10 )) = vp( X n - X m )
vp(x n ) + vp(x m ) < 1/n + 1/m.
Pour tout ê E IR'.'f-, en prenant N = E(2/ê) + 1, on déduit de l'assertion précédente que :
V(m, n) EN* x N* ( n ;;::: m ;;::: N ==> vp(y( n ) - y C m )) � ê) ,
autrement dit, que la suite (y( n ) ) n est de Cauchy dans ][P- l pour la norme vp.
Comme sur ][P- l toutes les normes sont équivalentes à la norme I l · Il 00,ocp-1 ,
la suite (y( n )) n est aussi de Cauchy pour la norme I l · lloo,JKp-i. Puisque ][P- l
est complet pour la norme Il · lloo,JKP-1 , la suite (y( n ) ) n converge pour la norme
JI · lloo, JKP-1 dans F vers y E F. Elle converge aussi vers y pour la norme vp car
ces deux normes sont équivalentes sur F. Pour tout n EN* on obtient,
vp(y + e 10 ) = vp(y - y( n ) + y( n ) + e 10 ) � vp(y - y( n )) + Vp (y( n ) + e 10 )
..._,. ._. .. .
= vp(x( n ))
soit : 0 � vp(y + e 10 ) � vp(y - y( n ) ) + 1/n.
Comme cette inégalité est vraie pour tout n E N, en considérant la limite
du membre de droite lorsque n tend vers +oo, on obtient vp(y + e 10 ) = O.
Puisque vp est une norme cela implique que y + e10 = 0 soit y 10 = - 1. On a
obtenu la contradiction : comme y E F on devrait avoir Y1o = O. On en conclut
qu'il existe bien un réel strictement positif C 2 tel que pour tout x E ][P on ait
JlxJl00,ocv � C 2 v(x), ce qui achève d'établir l'équivalence des deux normes. 0
Il résulte du lemme précédent que pour l'espace vectoriel ][P (p E N*) toutes
les normes sont équivalentes. Comme par ailleurs nous avons établi que l'espace
vectoriel ][P muni de la norme infinie est complet, il en résulte que ][(P muni de
l'une quelconque de ses normes est complet.
PROPOSITION 7.18 Les espaces vectoriels JRP et CP (p E N*) munis de l'une
quelconque de leurs normes sont des espaces de Banach.
Plus généralement, on a le résultat suivant qui indique que tout espace vectoriel
normé de dimension finie est complet.
THÉORÈME 7.5 (Complétude en dimension finie)
Tous les espaces vectoriels normés de dimension finie sont complets.
Suites dans un espace métrique
deux applications v et JI · lloo,IK P induisent des normes qui, par hypothèse de
récurrence, sont équivalentes. Désignons par vp la norme qui est issue de la
restriction à F de v.
Comme pour tout n E N on a x):> = 1, il existe un élément yCn) dans F
tel que :X: ( n ) = e 10 + y( n ) . Intéressons-nous à la suite (yC n ) ) n · On a pour tout
( m, n) E N* x N*,
vp(y( n )
_
y C m ) )
Vp (y( n ) + e j0 - (y( m ) + e 10 )) = vp( X n - X m )
vp(x n ) + vp(x m ) < 1/n + 1/m.
Pour tout ê E IR'.'f-, en prenant N = E(2/ê) + 1, on déduit de l'assertion précédente que :
V(m, n) EN* x N* ( n ;;::: m ;;::: N ==> vp(y( n ) - y C m )) � ê) ,
autrement dit, que la suite (y( n ) ) n est de Cauchy dans ][P- l pour la norme vp.
Comme sur ][P- l toutes les normes sont équivalentes à la norme I l · Il 00,ocp-1 ,
la suite (y( n )) n est aussi de Cauchy pour la norme I l · lloo,JKp-i. Puisque ][P- l
est complet pour la norme Il · lloo,JKP-1 , la suite (y( n ) ) n converge pour la norme
JI · lloo, JKP-1 dans F vers y E F. Elle converge aussi vers y pour la norme vp car
ces deux normes sont équivalentes sur F. Pour tout n EN* on obtient,
vp(y + e 10 ) = vp(y - y( n ) + y( n ) + e 10 ) � vp(y - y( n )) + Vp (y( n ) + e 10 )
..._,. ._. .. .
= vp(x( n ))
soit : 0 � vp(y + e 10 ) � vp(y - y( n ) ) + 1/n.
Comme cette inégalité est vraie pour tout n E N, en considérant la limite
du membre de droite lorsque n tend vers +oo, on obtient vp(y + e 10 ) = O.
Puisque vp est une norme cela implique que y + e10 = 0 soit y 10 = - 1. On a
obtenu la contradiction : comme y E F on devrait avoir Y1o = O. On en conclut
qu'il existe bien un réel strictement positif C 2 tel que pour tout x E ][P on ait
JlxJl00,ocv � C 2 v(x), ce qui achève d'établir l'équivalence des deux normes. 0
Il résulte du lemme précédent que pour l'espace vectoriel ][P (p E N*) toutes
les normes sont équivalentes. Comme par ailleurs nous avons établi que l'espace
vectoriel ][P muni de la norme infinie est complet, il en résulte que ][(P muni de
l'une quelconque de ses normes est complet.
PROPOSITION 7.18 Les espaces vectoriels JRP et CP (p E N*) munis de l'une
quelconque de leurs normes sont des espaces de Banach.
Plus généralement, on a le résultat suivant qui indique que tout espace vectoriel
normé de dimension finie est complet.
THÉORÈME 7.5 (Complétude en dimension finie)
Tous les espaces vectoriels normés de dimension finie sont complets.