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Suites dans un espace métrique
Cette assertion indique que la suite (x�>) n , dont les termes sont formés par la
i - ième composante des termes de la suite (x n ) n , est une suite de Cauchy dans OC.
Comme lR (resp. C) muni de la distance usuelle est complet cso> , on en déduit
que la suite (x�) ) n converge. En désignant par f (i) la limite de la suite (x n ) n ,
on a donc csi>
En notant N = max iE{l ,. .. ,p} Ni , on en déduit que
\fE E IR� 3N EN \fn EN \fi E {1, . . . ,p} (n ? N =* l x�> - g (i) I :::; ; E).
Si pour tout i E {1, . .. ,p} on a l x�> _g (i) I :::; ; E alors maxiE{ l, . . .,p} l x�) _g (i) 1 :::; ; E;
en notant R = (/!1, ... , Rp) E OCP, l'assertion précédente se réécrit
\fE E IR� 3N EN \fn EN (n ? N =* l /x n - R l /00 :::; ; E).
D'après la définition 7.16, on en conclut que la suite (x n ) n converge vers R. 0
Nous sommes à présent en mesure de démontrer le résultat suivant dont un
corollaire est le théorème 7.1 énoncé p. 367.
LEMME 7.4 Dans l'espace vectoriel OCP (p E N*), toutes les normes sont
équivalentes à la norme infinie
Démonstration Nous allons montrer par récurrence < 82 1 que pour tout p E N*,
une norme v sur OCP est équivalente à la norme infinie sur OCP que l'on notera
l/ · l/oo,!KP ·
� Si p = 1 alors pour tout x E OC on a: v(x) = v(x · l) = lxl v(l) = v(l) ll x l/oo,r < ·
L'équivalence des deux normes est établie.
� Supposons que sur ocv- 1 toutes les normes sont équivalentes à I l · l /00 ,ocv - t .
Considérons une norme v sur OCP et montrons qu'elle est équivalente à li · 1100,ocv ,
i.e. montrons qu'il existe C1 , C 2 E JR+ tels que C1 1 ; (x) :::; ; l/ xl/00,ocv :::; ; C 2 v(x).
t> Munissons OCP de sa base canonique (e1, e 2 , ... , ep) et considérons un élément
x de OCP de composantes (x1, x 2 , ... , xp) , i.e. x = I:: f =1 Xi ei . On a:
p
p
p
p
v(x) = v(L Xi ei) :::; ; L v(xi ei) = L l xi l v(ei) :::; ; llxl/oo,IKP L v(ei),
i=l
i=l
i=l
( 8o ) Voir le théorème 5.4 p. 191 du Cours de prnmièrn année.
< 81 > Voir la définition 7.16 p. 388.
i=l
( S2 J D'autres démonstrations existent. Cette démonstration par récurrence s'inspire de
S. Lang, Undergraduate analysis, Springer Verlag, New York, 1983.
Suites dans un espace métrique
Cette assertion indique que la suite (x�>) n , dont les termes sont formés par la
i - ième composante des termes de la suite (x n ) n , est une suite de Cauchy dans OC.
Comme lR (resp. C) muni de la distance usuelle est complet cso> , on en déduit
que la suite (x�) ) n converge. En désignant par f (i) la limite de la suite (x n ) n ,
on a donc csi>
En notant N = max iE{l ,. .. ,p} Ni , on en déduit que
\fE E IR� 3N EN \fn EN \fi E {1, . . . ,p} (n ? N =* l x�> - g (i) I :::; ; E).
Si pour tout i E {1, . .. ,p} on a l x�> _g (i) I :::; ; E alors maxiE{ l, . . .,p} l x�) _g (i) 1 :::; ; E;
en notant R = (/!1, ... , Rp) E OCP, l'assertion précédente se réécrit
\fE E IR� 3N EN \fn EN (n ? N =* l /x n - R l /00 :::; ; E).
D'après la définition 7.16, on en conclut que la suite (x n ) n converge vers R. 0
Nous sommes à présent en mesure de démontrer le résultat suivant dont un
corollaire est le théorème 7.1 énoncé p. 367.
LEMME 7.4 Dans l'espace vectoriel OCP (p E N*), toutes les normes sont
équivalentes à la norme infinie
Démonstration Nous allons montrer par récurrence < 82 1 que pour tout p E N*,
une norme v sur OCP est équivalente à la norme infinie sur OCP que l'on notera
l/ · l/oo,!KP ·
� Si p = 1 alors pour tout x E OC on a: v(x) = v(x · l) = lxl v(l) = v(l) ll x l/oo,r < ·
L'équivalence des deux normes est établie.
� Supposons que sur ocv- 1 toutes les normes sont équivalentes à I l · l /00 ,ocv - t .
Considérons une norme v sur OCP et montrons qu'elle est équivalente à li · 1100,ocv ,
i.e. montrons qu'il existe C1 , C 2 E JR+ tels que C1 1 ; (x) :::; ; l/ xl/00,ocv :::; ; C 2 v(x).
t> Munissons OCP de sa base canonique (e1, e 2 , ... , ep) et considérons un élément
x de OCP de composantes (x1, x 2 , ... , xp) , i.e. x = I:: f =1 Xi ei . On a:
p
p
p
p
v(x) = v(L Xi ei) :::; ; L v(xi ei) = L l xi l v(ei) :::; ; llxl/oo,IKP L v(ei),
i=l
i=l
i=l
( 8o ) Voir le théorème 5.4 p. 191 du Cours de prnmièrn année.
< 81 > Voir la définition 7.16 p. 388.
i=l
( S2 J D'autres démonstrations existent. Cette démonstration par récurrence s'inspire de
S. Lang, Undergraduate analysis, Springer Verlag, New York, 1983.