Espaces métriques et espaces vectoriels normés
403
BANACH, Stefan (1892, Cracovie - 1945, Lvov) .
BANACH était un mathématicien polonais qui a posé les bases
de l'analyse fonctionnelle. C'est dans sa thèse soutenue en 1922
qu'apparaît pour la première fois la notion d'espace de Banach
et que sont démontrés les théorèmes fondamentaux concernant
ces espaces. Cette thèse marque la naissance de « l'analyse
fonctionnelle ». En 1929 \
il fonde avec HUGO STEINHAUS
la revue mathématique <76
Studia M athematica, consacrée au
développement de l'analyse fonctionnelle.
complet. Attention ceci est faux si les distances ne sont pas équivalentes (voir
les mises en garde précédentes pour des contre-exemples) .
<>
Exercice 7.13 Soit (E, d) un espace métrique.
1 - Montrer que toute suite de Cauchy dans (E, d) est bornée.
2 - Montrer qu'une suite de Cauchy dans (E, d) qui possède une sous-suite
convergente est une suite convergente.
DÉFINITION 7.22 On appelle espace de Banach un espace vectoriel normé
qui est complet (p our la distance subordonnée à sa norme).
Exemples
1. L'espace vectoriel normé (C 0 ([a, b] , IR), li· li =) est un espace de Banach. Considérons une suite Un )n qui est de Cauchy dans (C 0 ([a, b] , IR), li · li= ); elle vérifie :
Ve E IR� 3N" EN V(m, n) E N 2
autrement dit :
(n � m � N" ====> sup lfn (x) - fm(x)I � e ) ,
(4)
xE[a,b]
Ve E IR� 3N" EN V(m, n) E N 2 '
Cela implique, compte tenu de la place du quantificateur ('
Ve E IR� 3N" EN V(m, n) E N 2 (n � m � N" ====> lfn (x) - fm (x)I � e ) .
( 76) •
Voir http : 11 j ournals . impan . gov . pl/ sm
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BANACH, Stefan (1892, Cracovie - 1945, Lvov) .
BANACH était un mathématicien polonais qui a posé les bases
de l'analyse fonctionnelle. C'est dans sa thèse soutenue en 1922
qu'apparaît pour la première fois la notion d'espace de Banach
et que sont démontrés les théorèmes fondamentaux concernant
ces espaces. Cette thèse marque la naissance de « l'analyse
fonctionnelle ». En 1929 \
il fonde avec HUGO STEINHAUS
la revue mathématique <76
Studia M athematica, consacrée au
développement de l'analyse fonctionnelle.
complet. Attention ceci est faux si les distances ne sont pas équivalentes (voir
les mises en garde précédentes pour des contre-exemples) .
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Exercice 7.13 Soit (E, d) un espace métrique.
1 - Montrer que toute suite de Cauchy dans (E, d) est bornée.
2 - Montrer qu'une suite de Cauchy dans (E, d) qui possède une sous-suite
convergente est une suite convergente.
DÉFINITION 7.22 On appelle espace de Banach un espace vectoriel normé
qui est complet (p our la distance subordonnée à sa norme).
Exemples
1. L'espace vectoriel normé (C 0 ([a, b] , IR), li· li =) est un espace de Banach. Considérons une suite Un )n qui est de Cauchy dans (C 0 ([a, b] , IR), li · li= ); elle vérifie :
Ve E IR� 3N" EN V(m, n) E N 2
autrement dit :
(n � m � N" ====> sup lfn (x) - fm(x)I � e ) ,
(4)
xE[a,b]
Ve E IR� 3N" EN V(m, n) E N 2 '
Cela implique, compte tenu de la place du quantificateur ('
Ve E IR� 3N" EN V(m, n) E N 2 (n � m � N" ====> lfn (x) - fm (x)I � e ) .
( 76) •
Voir http : 11 j ournals . impan . gov . pl/ sm