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Suites dans un espace métrique
Cette assertion se traduit par : pour tout x E [a, b], la suite numérique Un (x))n
est une suite de Cauchy dans IR. muni de la distance usuelle d. Comme (IR., d) est
complet, cette suite converge vers un réel que nous notons f(x). En considérant
la limite lorsque n tend vers +oo dans l'assertion (5), on obtient :
Vt: ER+ 3N0 EN Vm EN Vx E [a, b] (m � Nf; => lf(x) - fm (x)I ::S; t: ) .
Ainsi, la suite Un )n converge uniformément vers f. Comme les applications fn
sont continues sur [a, b], d'après le théorème 2.3 p. 86, f est continue sur [a, b] .
On en conclut que toute suite de Cauchy dans (C 0 ([a, b] , IR.), Il · 1 100) converge
dans (C 0 ([a, b] , IR.), Il · lloo ) · ·
2. L'espace vectoriel C 0 ([a, b] , IR.) muni de la norme Il · Il i de la convergence en
moyenne définie par f E C 0 ([a, b] , IR.) ..__. f 0
1 If (t) I dt n'est pas un espace de
Banach. Nous avons établi p. 399 que la suite Un )n de terme général
si x E [ü, !J
si X E].!. f + l [
2' 2
n
si X E [ ! + �, 1 j
est de Cauchy dans (C 0 ([0, 1], IR.), Il · 11 1 ). Cette suite converge simplement sur
[O, 1] vers l'application f définie par f(x) = 1 si x E [O, !J et f(x) = 0 si
x Ea, l]. L'application f n'est pas continue sur [O, 1] ; toutefois, elle est Riemannintégrable sur [O, 1] car elle est continue par morceaux. Dans l'espace vectoriel de RI([O, 1], IR.) des fonctions Riemann-intégrables sur [O, 1] muni de la
norme Il· 11 1 , on a pour tout n EN:
r 1
r
! + !ï ( 1 1 ) 1
llfn - /11 1 = J
o lfn (t) - f(t) I dt = n h
t - 2 + ; dt = ;
ce qui implique que limn-++oo Il ! n - /Il i = O. On en déduit que la suite Un )n
converge dans (RI(IO, 1], R), Il· Il i) vers f. Comme C 0 ([0, 1], R) est un sousespace vectoriel de RI([O, 1]), si Un )n convergeait dans (C 0 ([0, 1], R), Il· Il i) ce
serait nécessairement vers f. Puisque f n'est pas continue sur [O, 1] , on en
conclut que la suite Un )n ne converge pas dans (C 0 ([0, 1], R), Il· 11 1 ).
3. Montrons que muni de la norme f ..__. sup xE[a,b] l f(x)I +sup xE[a,b] lf' (x)I , que
l'on notera Il· Il , l'espace vectoriel C 1 (!a, bJ, IR.) est un espace de Banach <77> . Soit
Un )n une suite de Cauchy dans (C 1 ([a, b] ,R), Il· Il ); on a
.
Vt: ER+ 3N EN V(m, n) E N 2 (n � m � N => llfn - fm ll :( t: ) .
Puisque llfn - fm ll = sup xE[a,b] lfn (x) - fm(x)I + sup xE[a,b] lf� (x) - f,',, (x)I , on
en déduit que :
Vt: ER+ 3N EN V(m, n) E N 2 (n � m � N => sup lfn (x) - fm (x)I ::S; t: )
xE[a,b]
<77> L'espace vectoriel C 1 ([a, b] , JR) muni de la norme de la convergence uniforme n'est pas un
espace de Banach.