402
Suites dans un espace métrique
4. L'intervalle JO, l i muni de la distance usuelle sur R n'est pas complet ; on
vérifiera par exemple que la suite de terme général Xn = n� 2 est une suite de
Cauchy dans JO, 1[ mais qu'elle n'a pas de limite dans ]O, 1[. Par contre [O, 1]
• •
(73)
mum de la distance usuelle sur R est complet .
5. L'espace vectoriel S(R) des suites réelles muni de la distance <74> d définie pour
(x, y) = ((xn)n , ( Yn )n) E S(R) 2 par d(x, y) = I:�:O 2 �, 1:1���� .. est complet.
Pour le montrer, considérons une suite (Xn)n de Cauchy dans S(R) : c'est une
suite dont les termes sont des suites réelles ... ; le terme général de la suite (Xn)n
est noté Xn = (xn ,k ) k · La suite (Xn)n étant supposée de Cauchy, on a :
'<:lé: ER+. 3Ne EN \f(m, n) E N 2
(
� 1 l xn ,k - Xm, k l
)
n � m � Ne ===? � --;;
I :::; € ·
k=O 2 1 + l xn ,k - Xm, k
La série étant à termes positifs, on en déduit que pour tout k E N :
'v'ê E R+. 3Ne E N \f(m, n) E N 2
(
1 l xn ,k - Xm, k l
)
n � m � Ne ===? k
:::; ê .
2 1 + l xn ,k - Xm, k l
(3)
Cette assertion indique que pour tout k fixé la suite (xn ,k )n est une suite
de Cauchy dans R muni de la distance '15> o : (x, y) E R 2 1---7 1i1��� 1 • Or
comme R muni de la distance o est complet (voir l'exemple précédent) , pour
tout k fixé la suite (xn ,k )n converge dans (R, o) vers un réel que nous notons ek .
En considérant la limite quand n tend vers +oo dans l'assertion (3), on obtient :
autrement dit que :
Cela indique que la suite (Xn)n converge vers la suite (fn)n dans S(R) muni
de la distance d. L'espace vectoriel S(R) est donc complet pour la distance d.
Remarque Si d 1 et d 2 sont deux distances équivalentes sur E et si l'espace
métrique (E, d 1 ) est complet alors (E, d 2 ) est lui aussi un espace métrique
<73> C'est en effet un fermé dans IR muni de la distance usuelle et nous établirons à la proposition 7.19 p. 412 que tout sous-ensemble fermé d'un espace métrique complet est complet.
<74> Il a été établi à l'exercice 7 .2 que l'application d était une distance.
<75l On vérifie sans peine que si d est une distance sur un espace métrique E alors pour tout
réel strictement positif a, l'application (x, y) E E 2 >-+ ad(x, y ) est aussi une distance
et que cette distance est équivalente à d. Ceci explique pourquoi on « abandonne » le
coefficient �.
Suites dans un espace métrique
4. L'intervalle JO, l i muni de la distance usuelle sur R n'est pas complet ; on
vérifiera par exemple que la suite de terme général Xn = n� 2 est une suite de
Cauchy dans JO, 1[ mais qu'elle n'a pas de limite dans ]O, 1[. Par contre [O, 1]
• •
(73)
mum de la distance usuelle sur R est complet .
5. L'espace vectoriel S(R) des suites réelles muni de la distance <74> d définie pour
(x, y) = ((xn)n , ( Yn )n) E S(R) 2 par d(x, y) = I:�:O 2 �, 1:1���� .. est complet.
Pour le montrer, considérons une suite (Xn)n de Cauchy dans S(R) : c'est une
suite dont les termes sont des suites réelles ... ; le terme général de la suite (Xn)n
est noté Xn = (xn ,k ) k · La suite (Xn)n étant supposée de Cauchy, on a :
'<:lé: ER+. 3Ne EN \f(m, n) E N 2
(
� 1 l xn ,k - Xm, k l
)
n � m � Ne ===? � --;;
I :::; € ·
k=O 2 1 + l xn ,k - Xm, k
La série étant à termes positifs, on en déduit que pour tout k E N :
'v'ê E R+. 3Ne E N \f(m, n) E N 2
(
1 l xn ,k - Xm, k l
)
n � m � Ne ===? k
:::; ê .
2 1 + l xn ,k - Xm, k l
(3)
Cette assertion indique que pour tout k fixé la suite (xn ,k )n est une suite
de Cauchy dans R muni de la distance '15> o : (x, y) E R 2 1---7 1i1��� 1 • Or
comme R muni de la distance o est complet (voir l'exemple précédent) , pour
tout k fixé la suite (xn ,k )n converge dans (R, o) vers un réel que nous notons ek .
En considérant la limite quand n tend vers +oo dans l'assertion (3), on obtient :
autrement dit que :
Cela indique que la suite (Xn)n converge vers la suite (fn)n dans S(R) muni
de la distance d. L'espace vectoriel S(R) est donc complet pour la distance d.
Remarque Si d 1 et d 2 sont deux distances équivalentes sur E et si l'espace
métrique (E, d 1 ) est complet alors (E, d 2 ) est lui aussi un espace métrique
<73> C'est en effet un fermé dans IR muni de la distance usuelle et nous établirons à la proposition 7.19 p. 412 que tout sous-ensemble fermé d'un espace métrique complet est complet.
<74> Il a été établi à l'exercice 7 .2 que l'application d était une distance.
<75l On vérifie sans peine que si d est une distance sur un espace métrique E alors pour tout
réel strictement positif a, l'application (x, y) E E 2 >-+ ad(x, y ) est aussi une distance
et que cette distance est équivalente à d. Ceci explique pourquoi on « abandonne » le
coefficient �.