Espaces métriques et espaces vectoriels normés
401
DÉFINITION 7.21 (Espace métrique complet)
Un espace métrique (E, d) est qualifié d'espace métrique complet si toute suite
de Cauchy dans (E, d) est une suite convergente dans (E, d) .
Exemples
1 . Dans � et dans C munis de leur distance usuelle d: (x, y) E � 2 � / x - yj,
toute suite de Cauchy converge <69l . Il s'agit donc d'espaces métriques complets.
2. L'ensemble � muni de la distance <7 0 > o: (x, y) E � 2 �
1 fi��� I est complet.
Pour établir ce résultat, nous allons utiliser un moyen détourné et commencer
par montrer que toute suite de Cauchy dans (�, o) est aussi une suite de Cauchy
dans (�, d) où d désigne la distance usuelle. Considérons une suite (xn)n de
Cauchy dans (�, o) ; d'après la définition 7.20 on a :
Comme
(
lxn - Xm /
€
)
n :;::: m :;::: Nf: ===? 1 / - / � - 1
- .
+ Xn Xm
+c
/xn - Xml
€
/
� -- � /Xn - Xm / (1 + c ) � € (1 + /xn - Xm \)
1 + Xn - Xm / 1 + €
on en déduit que :
Ve E �� 3N0 EN '<:l(m, n) E N 2 (n ? m? N0 ====> /xn -xm / � c ) ,
ce qui indique que la suite (xn)n est de Cauchy pour la distance usuelle.
Comme � muni de la distance usuelle est complet, la suite (xn)n converge
dans (�, d) vers un réel R. Montrons à présent que la suite (xn)n converge
également _
vers i dans (�, ô) ; pour tout n EN, on a
d(xn, R)
1 + d(xn,R) ·
Puisque limn-+oo d(xn, R) = 0, lorsque n tend vers +oo, le numérateur dans
l'expression précédente tend vers 0 et le dénominateur vers 1. On en déduit
que limn-+oo ô(xn, R) = 0, ce qui signifie que la suite (xn)n converge vers R
dans (�, o).
•
•
(72)
3. L'ensemble Q mum de la distance usuelle n'est pas complet . Cela prouve
qu'un sous-espace métrique d'un espace métrique complet n'est pas nécessairement complet.
<69) Voir le théorème 5.4 p. 191 du Coui·s de première année pour la démonstration de la
complétude de IR. La démonstration de la complétude de C est analogue en considérant
le module à la place de la valeur absolue.
<7o) Le fait que ô est une distance a été établi à l'exercice 7.2.
(?tJ On considère l'assertion de la définition 7.20 avec t:: =
1 � (sic) .
(7 2 )
e
Vo ir le Cours de première année p. 193.
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DÉFINITION 7.21 (Espace métrique complet)
Un espace métrique (E, d) est qualifié d'espace métrique complet si toute suite
de Cauchy dans (E, d) est une suite convergente dans (E, d) .
Exemples
1 . Dans � et dans C munis de leur distance usuelle d: (x, y) E � 2 � / x - yj,
toute suite de Cauchy converge <69l . Il s'agit donc d'espaces métriques complets.
2. L'ensemble � muni de la distance <7 0 > o: (x, y) E � 2 �
1 fi��� I est complet.
Pour établir ce résultat, nous allons utiliser un moyen détourné et commencer
par montrer que toute suite de Cauchy dans (�, o) est aussi une suite de Cauchy
dans (�, d) où d désigne la distance usuelle. Considérons une suite (xn)n de
Cauchy dans (�, o) ; d'après la définition 7.20 on a
Comme
(
lxn - Xm /
€
)
n :;::: m :;::: Nf: ===? 1 / - / � - 1
- .
+ Xn Xm
+c
/xn - Xml
€
/
� -- � /Xn - Xm / (1 + c ) � € (1 + /xn - Xm \)
1 + Xn - Xm / 1 + €
on en déduit que :
Ve E �� 3N0 EN '<:l(m, n) E N 2 (n ? m? N0 ====> /xn -xm / � c ) ,
ce qui indique que la suite (xn)n est de Cauchy pour la distance usuelle.
Comme � muni de la distance usuelle est complet, la suite (xn)n converge
dans (�, d) vers un réel R. Montrons à présent que la suite (xn)n converge
également _
vers i dans (�, ô) ; pour tout n EN, on a
d(xn, R)
1 + d(xn,R) ·
Puisque limn-+oo d(xn, R) = 0, lorsque n tend vers +oo, le numérateur dans
l'expression précédente tend vers 0 et le dénominateur vers 1. On en déduit
que limn-+oo ô(xn, R) = 0, ce qui signifie que la suite (xn)n converge vers R
dans (�, o).
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(72)
3. L'ensemble Q mum de la distance usuelle n'est pas complet . Cela prouve
qu'un sous-espace métrique d'un espace métrique complet n'est pas nécessairement complet.
<69) Voir le théorème 5.4 p. 191 du Coui·s de première année pour la démonstration de la
complétude de IR. La démonstration de la complétude de C est analogue en considérant
le module à la place de la valeur absolue.
<7o) Le fait que ô est une distance a été établi à l'exercice 7.2.
(?tJ On considère l'assertion de la définition 7.20 avec t:: =
1 � (sic) .
(7 2 )
e
Vo ir le Cours de première année p. 193.