400
Suites dans un espace métrique
Cauchy dans (E, d 2 ). La vérification de cette propriété, qui découle de manière
simple des définitions 7.20 et 7.2, est laissée en exercice.
Si di et d 2 sont deux distances équivalentes sur E, les espaces métriques
(E, di) et (E, d 2 ) ont les mêmes suites de Cauchy. Mais si les distances ne
sont pas équivalentes, les suites de Cauchy ne sont pas nécessairement les
mêmes pour les deux distances. On a vu dans les exemples précédents que
dans lR. muni de la distance (x, y) E JR. 2 � 1 arctan(x) - arctan(y)j, la suite
de terme général n est une suite de Cauchy, mais elle n'est pas de Cauchy
avec la distance usuelle.
THÉORÈME 7.4 Soient (E, d) un espace métrique et (xn)n une suite d'éléments de E. Si la suite (xn)n converge dans (E, d) alors c'est une suite de
Cauchy dans (E, d).
Démonstration Supposons que la suite (xn)n converge vers f dans (E, d) et
montrons qu'elle est de Cauchy en établissant l'assertion (2) . Soit e un réel
strictement positif ; montrons que l'on peut trouver un entier naturel N tel que
pour tout (m, n) E N 2 avec m?: n?: Non ait d(xn , Xm) :::; ; e . Puisque la suite
(xn)n converge vers f dans (E, d), il résulte de la définition 7.16 que
3N,,EN Vk EN (k ?N ,, ===} d(x k ,e) :::; ; !e).
Pour tout (m, n) E N 2 , la première inégalité triangulaire indique que :
On en déduit que si m ? n ?: N,, alors,
d(xn, Xm ) :::; ; �ê + �ê = ê.
La suite (xn)n est donc bien une suite de Cauchy.
D
Exercice 7.12 Soient (E, d) un espace métrique et (xn)n une suite de
Cauchy dans (E, d). Soit ( Yn)n une suite d'éléments de E telle que Y o = xo
et telle que pour tout n E N* on ait d(xn , Yn) :::; ; 1/n.
1 - Montrer que la suite (Yn)n est une suite de Cauchy dans (E, d).
2 - Montrer que la suite (xn)n converge vers f dans (E, d) si et seulement si
la suite ( Yn)n converge vers f dans (E, d).
Le théorème 7.4 n'admet pas de réciproque : dans un espace métrique, il
existe des suites de Cauchy qui ne convergent pas. Par exemple, on a vu
que dans lR. muni de la distance d: (x, y) E JR. 2 � 1 arctan(x) - arctan(y)j,
la suite de terme général Un = n est une suite de Cauchy et que cette suite
diverge, voir p. 389.
Cette mise en garde motive la définition suivante.
Suites dans un espace métrique
Cauchy dans (E, d 2 ). La vérification de cette propriété, qui découle de manière
simple des définitions 7.20 et 7.2, est laissée en exercice.
Si di et d 2 sont deux distances équivalentes sur E, les espaces métriques
(E, di) et (E, d 2 ) ont les mêmes suites de Cauchy. Mais si les distances ne
sont pas équivalentes, les suites de Cauchy ne sont pas nécessairement les
mêmes pour les deux distances. On a vu dans les exemples précédents que
dans lR. muni de la distance (x, y) E JR. 2 � 1 arctan(x) - arctan(y)j, la suite
de terme général n est une suite de Cauchy, mais elle n'est pas de Cauchy
avec la distance usuelle.
THÉORÈME 7.4 Soient (E, d) un espace métrique et (xn)n une suite d'éléments de E. Si la suite (xn)n converge dans (E, d) alors c'est une suite de
Cauchy dans (E, d).
Démonstration Supposons que la suite (xn)n converge vers f dans (E, d) et
montrons qu'elle est de Cauchy en établissant l'assertion (2) . Soit e un réel
strictement positif ; montrons que l'on peut trouver un entier naturel N tel que
pour tout (m, n) E N 2 avec m?: n?: Non ait d(xn , Xm) :::; ; e . Puisque la suite
(xn)n converge vers f dans (E, d), il résulte de la définition 7.16 que
3N,,EN Vk EN (k ?N ,, ===} d(x k ,e) :::; ; !e).
Pour tout (m, n) E N 2 , la première inégalité triangulaire indique que :
On en déduit que si m ? n ?: N,, alors,
d(xn, Xm ) :::; ; �ê + �ê = ê.
La suite (xn)n est donc bien une suite de Cauchy.
D
Exercice 7.12 Soient (E, d) un espace métrique et (xn)n une suite de
Cauchy dans (E, d). Soit ( Yn)n une suite d'éléments de E telle que Y o = xo
et telle que pour tout n E N* on ait d(xn , Yn) :::; ; 1/n.
1 - Montrer que la suite (Yn)n est une suite de Cauchy dans (E, d).
2 - Montrer que la suite (xn)n converge vers f dans (E, d) si et seulement si
la suite ( Yn)n converge vers f dans (E, d).
Le théorème 7.4 n'admet pas de réciproque : dans un espace métrique, il
existe des suites de Cauchy qui ne convergent pas. Par exemple, on a vu
que dans lR. muni de la distance d: (x, y) E JR. 2 � 1 arctan(x) - arctan(y)j,
la suite de terme général Un = n est une suite de Cauchy et que cette suite
diverge, voir p. 389.
Cette mise en garde motive la définition suivante.