Espaces métriques et espaces vectoriels normés
399
Exemples
. 1 . Dans lR. muni de la distance d : ( x, y) E IR. 2 r-+ 1 arctan( x) - arctan(y) 1, la suite
( un)n de terme général Un = n est une suite de Cauchy. En effet, la relation
(Gs)
arctan(x) + arctan(l/x) = 7r/2 valable pour tout réel x > 0 implique que pour
tout (m, n) E N 2 on a:
d(un, um) = 1 arctan(n) - arctan(m) I = 1 arctan(l/n) - arctan(l/m)I .
Dans le cas où n = m on a d( un, um) = O. Supposons que l'on ait n > m;
le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction arc-tangente sur
l'intervalle [� , �] établit l'existence d'un réel c E]�, � [ tel que :
1 ( 1 1 )
d(un, Um) =
- 1
2 - - - .
+c
m n
Puisque 1 + c 2 > 1 et 0 < 1/n < 1/m, on a 0 ::::; d(un, um) ::::; 1/m. Ainsi, pour
tout € E IR."/-, en considérant l'entier N = E(c i ) + 1, on obtient pour tout
(m, n) E N 2 avec n ?;: m ?;: N0 la relation d(un, um) ::::; €. L'assertion (2) est
démontrée et la suite (un)n est une suite de Cauchy.
2. La suite de terme général Un = n n'est pas une suite de Cauchy dans lR. muni
de la distance usuelle car si € = ! alors pour tout N E N les entiers n = N + 1
et m = N vérifient n?;: m?;: N et d(xn , Xm) = ln - ml = 1 > €.
3. Considérons la suite Un )n de c 0 ([0, 1]) définie pour n ;;:;: 3 par
si x E [O, !]
si X E]! f + l [
2 ' 2 n
si X E [! + �' lj
et montrons qu'il s'agit d'une suite de Cauchy dans (C 0 ([0, 1], IR.), di) où di
est la distance subordonnée à la norme Ni de la convergence en moyenne :
f E C 0 ([0, 1], IR.) r-+ f 0
i l f(x)I dx. Soient E un réel strictement positiffixé et m, n
deux entiers tels que n ;;:;: m. On a
l!+;k ( 1 1 )
m
x- -+2 m
2
1
1
1
- - - ::::; - .
2m 2n 2m
r!+ !. ( 1 1 )
dx - n J
,i.
x - 2 + :;;:
On en déduit que di(fn, fm) ::::; € pour tout (m, n) E N 2 avec n?;: m?;: N où
N = E(..!.. ) + 1
2 o
·
Soit (xn)n une suite d'éléments de E qui est de Cauchy dans (E, di) ; si d 2 est
une distance équivalente à di sur E alors la suite (xn)n est aussi une suite de
(GB) Voir la proposition 14.19 p. 655 du Cours de p1·emière année.
399
Exemples
. 1 . Dans lR. muni de la distance d : ( x, y) E IR. 2 r-+ 1 arctan( x) - arctan(y) 1, la suite
( un)n de terme général Un = n est une suite de Cauchy. En effet, la relation
(Gs)
arctan(x) + arctan(l/x) = 7r/2 valable pour tout réel x > 0 implique que pour
tout (m, n) E N 2 on a:
d(un, um) = 1 arctan(n) - arctan(m) I = 1 arctan(l/n) - arctan(l/m)I .
Dans le cas où n = m on a d( un, um) = O. Supposons que l'on ait n > m;
le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction arc-tangente sur
l'intervalle [� , �] établit l'existence d'un réel c E]�, � [ tel que :
1 ( 1 1 )
d(un, Um) =
- 1
2 - - - .
+c
m n
Puisque 1 + c 2 > 1 et 0 < 1/n < 1/m, on a 0 ::::; d(un, um) ::::; 1/m. Ainsi, pour
tout € E IR."/-, en considérant l'entier N = E(c i ) + 1, on obtient pour tout
(m, n) E N 2 avec n ?;: m ?;: N0 la relation d(un, um) ::::; €. L'assertion (2) est
démontrée et la suite (un)n est une suite de Cauchy.
2. La suite de terme général Un = n n'est pas une suite de Cauchy dans lR. muni
de la distance usuelle car si € = ! alors pour tout N E N les entiers n = N + 1
et m = N vérifient n?;: m?;: N et d(xn , Xm) = ln - ml = 1 > €.
3. Considérons la suite Un )n de c 0 ([0, 1]) définie pour n ;;:;: 3 par
si x E [O, !]
si X E]! f + l [
2 ' 2 n
si X E [! + �' lj
et montrons qu'il s'agit d'une suite de Cauchy dans (C 0 ([0, 1], IR.), di) où di
est la distance subordonnée à la norme Ni de la convergence en moyenne :
f E C 0 ([0, 1], IR.) r-+ f 0
i l f(x)I dx. Soient E un réel strictement positiffixé et m, n
deux entiers tels que n ;;:;: m. On a
l!+;k ( 1 1 )
m
x- -+2 m
2
1
1
1
- - - ::::; - .
2m 2n 2m
r!+ !. ( 1 1 )
dx - n J
,i.
x - 2 + :;;:
On en déduit que di(fn, fm) ::::; € pour tout (m, n) E N 2 avec n?;: m?;: N où
N = E(..!.. ) + 1
2 o
·
Soit (xn)n une suite d'éléments de E qui est de Cauchy dans (E, di) ; si d 2 est
une distance équivalente à di sur E alors la suite (xn)n est aussi une suite de
(GB) Voir la proposition 14.19 p. 655 du Cours de p1·emière année.