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Suites dans un espace métrique
PROPOSITION 7.17 Soient (E, d) un espace métrique et (xn)n une suite
d'éléments de E. Si la suite (xn)n possède plus d'une valeur d'adhérence dans
(E, d) alors elle diverge dans (E, d).
Par contraposition, la proposition 7.17 fournit le résultat suivant : si une suite
converge alors elle possède une unique valeur d'adhérence ; de plus cette valeur
d'adhérence est sa limite car d'après la proposition 7. 15, toutes les sous-suites
convergent vers la limite. On sera toutefois attentif au fait que la réciproque
est fausse. Par exemple la suite réelle de terme général Xn = (1 - (- l) n ) e n
admet 0 pour seule valeur d'adhérence et pourtant elle diverge.
7 .4.3 Suites de Cauchy
DÉFINITION 7.20 (Suite de Cauchy)
Soient (E, d) un espace métrique et (xn)n une suite d'éléments de E. On dit
que la suite (xn)n est une suite de Cauchy dans (E, d) si :
Remarques
1. On peut également exprimer que la suite (xn)n est une suite de Cauchy dans
(E, d) de la manière suivante :
2. Pour lK muni de la distance usuelle, la définition 7.20 coïncide avec celle de
suite numérique de Cauchy donnée dans le Cours de première année p. 191.
Par ailleurs, pour C 0 ([a, b] , JR) muni de la distance subordonnée à la norme
N00 : f E C 0 ([a, b] , JR) 1-> sup xE[a,b J lf(x)l la définition 7.20 coïncide avec celle
d'une suite d'applications uniformément de Cauchy donnée au chap. 2, voir
p. 82.
3. En prenant la négation <6 7 > de l'assertion (2), on obtient qu'une suite (x n ) n
n'est pas une suite de Cauchy dans (E, d) si :
3c ElR� VN EN 3(m,n) EN 2 (n � m � N et d(xn, Xm)>c) .
4. Toute suite extraite d'une suite de Cauchy est elle-même une suite de Cauchy. Cela résulte du fait que si h est une extractrice alors h(n) � n pour
tout n EN.
o
<6 7 > Voir le chap. 1 du Cours de première année pour les régies de négation d'une assertion
quantifiée.