Espaces métriques et espaces vectoriels normés
397
Dans les deux cas, on a d(xp, f) � c. Ainsi, pour tout réel c strictement positif,
il existe un entier N tel que d(xp , f) � c pour tout entier p supérieur à N.
D'après la définition 7.16, la suite (xn)n converge vers e dans (E, d).
0
THÉORÈME 7.3 Soient (E, d) un espace métrique et (xn)n une suite d'éléments de E. L'élément a de E est valeur d'adhérence de la suite (xn)n si et
seulement si il est limite d'une suite extraite de la suite ( Xn )n .
Démonstration � Supposons que a soit limite de la suite (xh ( n ) )n extraite
de la suite (xn)n · Pour montrer que a est valeur d'adhérence de la suite (xn)n
dans (E, d), il faut montrer que :
·
Vr E JR.� VN EN 3n EN (n � N et X1i ( n ) E B(a, r)) .
Soient r E JR.+ et N E N fixés ; montrons que l'on peut trouver un entier
naturel n tel que n � N et xh ( n ) E B(a, r ) . Comme a = limn_,+00 xh ( n ) •
d'après la définition 7.16 considérée avec c = �r,
3No EN Vn EN (n �N o ==> d(xh ( n ) >a) � �r) ,
ce qui signifie qu'à partir du rang No tous les termes de la suite sont dans la
boule fermée B(a, �r) et donc dans B(a, r ) . Considérons les entiers
no = max(N, No ) et ni = h(no) ; on a ni � no (car h est une extractrice)
donc, d'une part ni � N, et d'autre part ni � No , ce qui implique que Xn, appartient à B(a, r). L'entier ni vérifie donc les conditions requises. On en conclut
que l'élément a est bien valeur d'adhérence de la suite (xn)n dans (E, d).
� Réciproquement, supposons que a est valeur d'adhérence de la suite (xn)n et
construisons une suite extraite de la suite (xn)n dont il est la limite. Construire
une suite extraite de la suite (xn)n qui converge vers a revient à trouver une
extractrice h (c'est-à-dire une application strictement croissante de N dans N)
telle que la suite (xh ( n ) )n obtenue converge vers a. On construit cette extractrice
par récurrence. On pose h(O) = O. Supposons connue la valeur de h(n - 1)
pour n E N* ; comme a est valeur d'adhérence de la suite (xn)n, d'après la
définition 7.18 considérée avec r = � et N = h(n - 1) + 1
:lm EN (m � h(n - 1) + 1 et Xm E B(a, �)).
En posant h(n) = m, on a d'une part h(n) > h(n - 1) et d'autre part
0 � d(xh ( n ) > a) < l/n. La première relation assure que h est bien une application strictement croissante de N dans N et par la théorème d'encadrement, la
seconde relation indique que la suite (x1i ( n ) )n extraite de la suite (xn)n converge
vers a.
0
On a le résultat suivant qui est une simple conséquence du théorème 7.3 et de
la proposition 7.15.
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Dans les deux cas, on a d(xp, f) � c. Ainsi, pour tout réel c strictement positif,
il existe un entier N tel que d(xp , f) � c pour tout entier p supérieur à N.
D'après la définition 7.16, la suite (xn)n converge vers e dans (E, d).
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THÉORÈME 7.3 Soient (E, d) un espace métrique et (xn)n une suite d'éléments de E. L'élément a de E est valeur d'adhérence de la suite (xn)n si et
seulement si il est limite d'une suite extraite de la suite ( Xn )n .
Démonstration � Supposons que a soit limite de la suite (xh ( n ) )n extraite
de la suite (xn)n · Pour montrer que a est valeur d'adhérence de la suite (xn)n
dans (E, d), il faut montrer que :
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Vr E JR.� VN EN 3n EN (n � N et X1i ( n ) E B(a, r)) .
Soient r E JR.+ et N E N fixés ; montrons que l'on peut trouver un entier
naturel n tel que n � N et xh ( n ) E B(a, r ) . Comme a = limn_,+00 xh ( n ) •
d'après la définition 7.16 considérée avec c = �r,
3No EN Vn EN (n �N o ==> d(xh ( n ) >a) � �r) ,
ce qui signifie qu'à partir du rang No tous les termes de la suite sont dans la
boule fermée B(a, �r) et donc dans B(a, r ) . Considérons les entiers
no = max(N, No ) et ni = h(no) ; on a ni � no (car h est une extractrice)
donc, d'une part ni � N, et d'autre part ni � No , ce qui implique que Xn, appartient à B(a, r). L'entier ni vérifie donc les conditions requises. On en conclut
que l'élément a est bien valeur d'adhérence de la suite (xn)n dans (E, d).
� Réciproquement, supposons que a est valeur d'adhérence de la suite (xn)n et
construisons une suite extraite de la suite (xn)n dont il est la limite. Construire
une suite extraite de la suite (xn)n qui converge vers a revient à trouver une
extractrice h (c'est-à-dire une application strictement croissante de N dans N)
telle que la suite (xh ( n ) )n obtenue converge vers a. On construit cette extractrice
par récurrence. On pose h(O) = O. Supposons connue la valeur de h(n - 1)
pour n E N* ; comme a est valeur d'adhérence de la suite (xn)n, d'après la
définition 7.18 considérée avec r = � et N = h(n - 1) + 1
:lm EN (m � h(n - 1) + 1 et Xm E B(a, �)).
En posant h(n) = m, on a d'une part h(n) > h(n - 1) et d'autre part
0 � d(xh ( n ) > a) < l/n. La première relation assure que h est bien une application strictement croissante de N dans N et par la théorème d'encadrement, la
seconde relation indique que la suite (x1i ( n ) )n extraite de la suite (xn)n converge
vers a.
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On a le résultat suivant qui est une simple conséquence du théorème 7.3 et de
la proposition 7.15.