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Suites dans un espace métrique
Remarques
1. L'application h de la définition 7.19 est appelée extractrice. On vérifie par
récurrence que si h est une extractrice alors pour tout n E N on a h(n) � n.
2. Toute sous-suite d'une sous-suite de la suite (xn)n est une sous-suite de la
suite (xn)n car la composée de deux applications strictement croissantes est
une application strictement croissante (et par conséquent la composée de deux
extractrices est une extractrice) .
o
PROPOSITION 7.15 Soient (E, d) un espace métrique et (xn)n une suite
d'éléments de E. Si la suite (xn)n converge vers f dans (E, d) alors toute
sous-suite de la suite (xn)n converge également vers f.
Démonstration Supposons que la suite (xn)n converge vers f dans (E, d) ;
d'après la définition 7.16, pour tout réel c strictement positif fixé :
Considérons une extractrice h et montrons que la suite (xh ( n ) )neN converge
vers f. Comme h est une extractrice, h est strictement croissante et h(N) � N.
Donc, si n � Non a h(n) � h(N) � Net par conséquent d(xh ( n ) ,f) ::::; c. Ainsi,
pour tout réel strictement positif ê, il existe un entier N tel que si n� N alors
d(xh ( n ) , f) ::::; é . D'après la définition 7.16, la suite (xh ( n ) )neN converge vers I!
dans (E, d).
D
PROPOSITION 7.16 Soient (E, d) un espace métrique et (xn)n une suite
d'éléments de E. Une condition nécessaire et suffisante pour que la suite (xn)n
converge dans (E, d) est que la sous-suite des termes d'indice pair et la soussuite des termes d'indice impair convergent dans ( E, d) et aient même limite.
Dans ce cas, cette limite commune est la limite de la suite (xn)n ·
Démonstration � D'après la proposition 7.15 si la suite (xn)n converge vers I!
dans (E, d), la sous-suite des termes d'indice pairs et la sous-suite des termes
d'indice impairs convergent vers /!.
� Réciproquement, supposons que la sous-suite des termes d'indice pairs et la
sous-suite des termes d'indice impairs convergent toutes les deux vers f dans
(E, d). Pour tout réel c strictement positif on a
3N 1 EN Vn EN (n �N i ===} d(x 2 n , /!) ::::; ê) ,
3N 2 EN Vn EN (n � N 2 ===} d(x 2 n+i,I!) ::::; c ) .
Soient N = max(2N 1 , 2N 2 + 1) et p EN tel que p � N.
1. Si p est pair, il existe un entier k tel que p = 2k et k � N 1 .
2. Si p est impair, il existe un entier k tel que p = 2k + 1 et k � N 2 .
Suites dans un espace métrique
Remarques
1. L'application h de la définition 7.19 est appelée extractrice. On vérifie par
récurrence que si h est une extractrice alors pour tout n E N on a h(n) � n.
2. Toute sous-suite d'une sous-suite de la suite (xn)n est une sous-suite de la
suite (xn)n car la composée de deux applications strictement croissantes est
une application strictement croissante (et par conséquent la composée de deux
extractrices est une extractrice) .
o
PROPOSITION 7.15 Soient (E, d) un espace métrique et (xn)n une suite
d'éléments de E. Si la suite (xn)n converge vers f dans (E, d) alors toute
sous-suite de la suite (xn)n converge également vers f.
Démonstration Supposons que la suite (xn)n converge vers f dans (E, d) ;
d'après la définition 7.16, pour tout réel c strictement positif fixé :
Considérons une extractrice h et montrons que la suite (xh ( n ) )neN converge
vers f. Comme h est une extractrice, h est strictement croissante et h(N) � N.
Donc, si n � Non a h(n) � h(N) � Net par conséquent d(xh ( n ) ,f) ::::; c. Ainsi,
pour tout réel strictement positif ê, il existe un entier N tel que si n� N alors
d(xh ( n ) , f) ::::; é . D'après la définition 7.16, la suite (xh ( n ) )neN converge vers I!
dans (E, d).
D
PROPOSITION 7.16 Soient (E, d) un espace métrique et (xn)n une suite
d'éléments de E. Une condition nécessaire et suffisante pour que la suite (xn)n
converge dans (E, d) est que la sous-suite des termes d'indice pair et la soussuite des termes d'indice impair convergent dans ( E, d) et aient même limite.
Dans ce cas, cette limite commune est la limite de la suite (xn)n ·
Démonstration � D'après la proposition 7.15 si la suite (xn)n converge vers I!
dans (E, d), la sous-suite des termes d'indice pairs et la sous-suite des termes
d'indice impairs convergent vers /!.
� Réciproquement, supposons que la sous-suite des termes d'indice pairs et la
sous-suite des termes d'indice impairs convergent toutes les deux vers f dans
(E, d). Pour tout réel c strictement positif on a
3N 1 EN Vn EN (n �N i ===} d(x 2 n , /!) ::::; ê) ,
3N 2 EN Vn EN (n � N 2 ===} d(x 2 n+i,I!) ::::; c ) .
Soient N = max(2N 1 , 2N 2 + 1) et p EN tel que p � N.
1. Si p est pair, il existe un entier k tel que p = 2k et k � N 1 .
2. Si p est impair, il existe un entier k tel que p = 2k + 1 et k � N 2 .