Espaces métriques et espaces vectoriels normés
395
Exemple Dans ffit 2 muni de la distance euclidienne, la suite (xn)n de terme
général
(
1
1
1 )
Xn = (-l)
n cos('rr n - 2 ), (-lt n - 2 sin(nn2 )
possède deux valeurs d'adhérence qui sont (-1, 0) et (1, 0).
0
0
0
0
0
X
0
0
0
-1
Fig. 11 La suite (xn)n possède deux valeurs d'adhérence.
Montrons que a = (1, 0) est valeur d'adhérence de la suite. Pour tout k E N*,
on a
(
)2 sin 2 (nv'2k)
d 2 (X 2 k, a) 2 = cos(7r//2k) - 1 +
2k
·
Puisque limk_.+oo d 2 (X 2 k , a)= 0, pour tout r > 0 on a
caa >
On en déduit que pour tout N E N, l'entier n = max(2K, N) vérifie n � N et
d 2 (xn, a) ::::; ; �r < r, autrement dit Xn E B(a, r ) . On déduit de la définition 7.18
que a = (1, 0) est valeur d'adhérence de la suite (xn)ii- On procède de manière
similaire pour montrer que (-1, 0) est aussi valeur d'adhérence de la suite (xn)n ·
Nous allons voir dans ce qui suit que la notion de valeur d'adhérence d'une
suite est très liée à la notion de sous-suite et à la notion de limite.
7.4.2 Suites extraites
DÉFINITION 7.19 Soient E un ensemble et (xn)n une suite d'éléments de E.
On dit que la suite (Yn)n est une suite extraite ou une sous-suite de la suite
(xn)n s'il existe une application h de N dans N, strictement croissante, telle
que pour tout n E N on ait Yn = Xh(n) '
(GG) D'après la définition de la convergence d'une suite, voir la définition 5.1 p. 168 du Cours
de première année.