394
Suites dans un espace métrique
(E, o). Par contraposition, on dispose d'un moyen d'établir que deux distances
ne sont pas équivalentes : il suffit de trouver une suite (xn)n qui soit bornée
pour l'une des distances et pas pour l'autre. Ainsi, les exemples précédents
indiquent que sur� la distance d: (x, y) E � 2 f--7 1 ll��� I n'est pas équivalente
à la distance usuelle et que sur JK[X) les deux normes
P E JK[X] .-.+ sup IP(x)I
xE [- 1, 1)
ne sont pas non plus équivalentes.
+oo
et P E JK[X] .-.+ L IP (k) (O)I
k=O
0
PROPOSITION 7.14 Soient (E, d) un espace métrique et (xn)n une suite
d'éléments de E. Si la suite (xn)n converge alors la suite (xn)n est bornée.
Démonstration Notons f la limite dans (E, d) de la suite (xn)n ; d'après la
définition 7.16, on a :
3N EN \:/n EN (n �N =? d(xn,f)�l) .
Posons K = max(d(x1 , f), . . . , d(xN , f), 1) ; pour tout n EN, on a d(xn , f) � /(
ce qui d'après la définition 7.17 permet d'affirmer que la suite (xn)n est bornée.
D
Remarque Par contraposition, la proposition 7.14 indique que si une suite
n'est pas bornée dans l'espace métrique (E, d) alors elle ne converge pas dans
(E, d). Ainsi, on déduit des exemples de la p. 393 que la suite (Pn)n de terme
général Pn = �x n ne converge pas dans l'espace vectoriel JK[X] muni de la
distance o subordonnée à la norme N: P E JK[X] f--7 L:t,:O IP (k) (O)I . En effet,
on a établi que cette suite n'était pas bornée.
o
DÉFINITION 7.18 (Valeur d'adhérence)
Soient (E, d) un espace métrique et (xn)n une suite d'éléments de E. On dit
que l'élément a de E est une valeur d'adhérence de la suite (xn)n si
\:/rE�� \:/N EN 3n EN (n �N et Xn EB(a, r)) .
Remarques
1. On peut montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite est
toujours un ensemble fermé.
2. D'après la définition 7.18, a est une valeur d'adhérence de la suite (xn)n dans
(E, d) si pour toute boule ouverte B(a, r) centrée en a et pour tout élément
XN de la suite (xn)n, on peut trouver un élément de la suite (xn)n de rang
supérieur à N qui appartienne à la boule ouverte B(a, r), voir la figure 11. o
Suites dans un espace métrique
(E, o). Par contraposition, on dispose d'un moyen d'établir que deux distances
ne sont pas équivalentes : il suffit de trouver une suite (xn)n qui soit bornée
pour l'une des distances et pas pour l'autre. Ainsi, les exemples précédents
indiquent que sur� la distance d: (x, y) E � 2 f--7 1 ll��� I n'est pas équivalente
à la distance usuelle et que sur JK[X) les deux normes
P E JK[X] .-.+ sup IP(x)I
xE [- 1, 1)
ne sont pas non plus équivalentes.
+oo
et P E JK[X] .-.+ L IP (k) (O)I
k=O
0
PROPOSITION 7.14 Soient (E, d) un espace métrique et (xn)n une suite
d'éléments de E. Si la suite (xn)n converge alors la suite (xn)n est bornée.
Démonstration Notons f la limite dans (E, d) de la suite (xn)n ; d'après la
définition 7.16, on a :
3N EN \:/n EN (n �N =? d(xn,f)�l) .
Posons K = max(d(x1 , f), . . . , d(xN , f), 1) ; pour tout n EN, on a d(xn , f) � /(
ce qui d'après la définition 7.17 permet d'affirmer que la suite (xn)n est bornée.
D
Remarque Par contraposition, la proposition 7.14 indique que si une suite
n'est pas bornée dans l'espace métrique (E, d) alors elle ne converge pas dans
(E, d). Ainsi, on déduit des exemples de la p. 393 que la suite (Pn)n de terme
général Pn = �x n ne converge pas dans l'espace vectoriel JK[X] muni de la
distance o subordonnée à la norme N: P E JK[X] f--7 L:t,:O IP (k) (O)I . En effet,
on a établi que cette suite n'était pas bornée.
o
DÉFINITION 7.18 (Valeur d'adhérence)
Soient (E, d) un espace métrique et (xn)n une suite d'éléments de E. On dit
que l'élément a de E est une valeur d'adhérence de la suite (xn)n si
\:/rE�� \:/N EN 3n EN (n �N et Xn EB(a, r)) .
Remarques
1. On peut montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite est
toujours un ensemble fermé.
2. D'après la définition 7.18, a est une valeur d'adhérence de la suite (xn)n dans
(E, d) si pour toute boule ouverte B(a, r) centrée en a et pour tout élément
XN de la suite (xn)n, on peut trouver un élément de la suite (xn)n de rang
supérieur à N qui appartienne à la boule ouverte B(a, r), voir la figure 11. o