Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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Remarques
1. Il résulte de la définition 7.17, qu'une suite (xn)n d'éléments de E n'est pas
bornée dans ( E, d) si
Ve E E VK E IR� 3n E N d(xn, e) > K.
(1)
2. Dire qu'une suite (xn)n d'éléments de l'espace métrique (E, d) est bornée
revient à dire que l'ensemble U = { Xn ; n E N} des valeurs prises par la suite
est un ensemble borné dans E, voir la définition 7.11.
·
o
Exemples
1. Dans IR muni de la distance usuelle, la suite (xn)n de terme général Xn = n
n'est pas bornée car pour tout e E IR et pour tout K E IR+ le terme d'indice
n = E(e + K) + 1 est tel que lxn - e l > K. Dans IR muni de la distance
d : (x, y) E IR 2
�
1���� 1 , voir l'exercice 7.2 p. 347, cette suite (xn)n est
bornée car pour tout n E N, on a d(xn, 0) = l � n � 1.
2. Considérons l'espace vectoriel JK[X] muni de la distance d subordonnée à la
norme P E JK[X] � s u p xE[ - l,l] IP(x)I , voir p. 389. La suite (Pn)n de terme
général Pn = � x n est bornée dans (JK[X], d) car pour tout n E N*
1
d(Pn , Üoc[xj) = sup IPn (x)I = - � 1.
xE( - 1,f]
n
Munissons à présent l'espace vectoriel JK[X] de la distance 8 subordonnée à la
norme<65> N : P E JK[X] � L:t,:O IP (k) (O)I et considérons à nouveau la suite
(Pn)n de terme général Pn = .!.X n . Cette suite n'est pas bornée dans (JK[X], 8).
En effet, soit P = I:;;1 = 0 a k X!( un polynôme de JK[X] et K E IR+ ; pour n > m
et n > 2, on a
n
.ô(Pn ,P) = L IP (k) (O) - p� k ) (O)I = IP ( m ) (O)I + IP� n ) (O)I
k = O
= m! l am l + (n - 1)! > (n - 1)! > n.
On en déduit qu'en choisissant n = 1 + max(2, m, E(K)), on a ô(Pn , P) > K
ce qui prouve l'assertion (1).
Remarque Il résulte des définitions que si la suite (xn)n est bornée dans (E, d)
et que 8 est une distance équivalente à d, alors la suite (xn)n est bornée dans
(G � ) On vérifiera à titre d'exercice qu'il s'agit bien d'une norme. On pourra remarquer que
la somme est finie car un polynôme de degré n à toutes ses dérivées d'ordre strictement
supérieur à n qui sont nulles. Les conditions 1, 3 et 4 de la définition 7.3 résultent
directement des propriétés de la valeur absolue et de la borne supérieure. Pour établir la
deuxième condition, on remarquera que si P est un polynôme de degré n tel que N(P) = 0
alors pour tout k E {O, ... , n} on a p(k) (0) = 0 ce qui signifie, voir la proposition 6.8
p. 244 du Cours de prnmière année, que 0 est racine de multiplicité n + 1 de P. Comme
un polynôme de degré n qui est non nul admet au plus n racines, on en conclut que P
est le polynôme nul.
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Remarques
1. Il résulte de la définition 7.17, qu'une suite (xn)n d'éléments de E n'est pas
bornée dans ( E, d) si
Ve E E VK E IR� 3n E N d(xn, e) > K.
(1)
2. Dire qu'une suite (xn)n d'éléments de l'espace métrique (E, d) est bornée
revient à dire que l'ensemble U = { Xn ; n E N} des valeurs prises par la suite
est un ensemble borné dans E, voir la définition 7.11.
·
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Exemples
1. Dans IR muni de la distance usuelle, la suite (xn)n de terme général Xn = n
n'est pas bornée car pour tout e E IR et pour tout K E IR+ le terme d'indice
n = E(e + K) + 1 est tel que lxn - e l > K. Dans IR muni de la distance
d : (x, y) E IR 2
�
1���� 1 , voir l'exercice 7.2 p. 347, cette suite (xn)n est
bornée car pour tout n E N, on a d(xn, 0) = l � n � 1.
2. Considérons l'espace vectoriel JK[X] muni de la distance d subordonnée à la
norme P E JK[X] � s u p xE[ - l,l] IP(x)I , voir p. 389. La suite (Pn)n de terme
général Pn = � x n est bornée dans (JK[X], d) car pour tout n E N*
1
d(Pn , Üoc[xj) = sup IPn (x)I = - � 1.
xE( - 1,f]
n
Munissons à présent l'espace vectoriel JK[X] de la distance 8 subordonnée à la
norme<65> N : P E JK[X] � L:t,:O IP (k) (O)I et considérons à nouveau la suite
(Pn)n de terme général Pn = .!.X n . Cette suite n'est pas bornée dans (JK[X], 8).
En effet, soit P = I:;;1 = 0 a k X!( un polynôme de JK[X] et K E IR+ ; pour n > m
et n > 2, on a
n
.ô(Pn ,P) = L IP (k) (O) - p� k ) (O)I = IP ( m ) (O)I + IP� n ) (O)I
k = O
= m! l am l + (n - 1)! > (n - 1)! > n.
On en déduit qu'en choisissant n = 1 + max(2, m, E(K)), on a ô(Pn , P) > K
ce qui prouve l'assertion (1).
Remarque Il résulte des définitions que si la suite (xn)n est bornée dans (E, d)
et que 8 est une distance équivalente à d, alors la suite (xn)n est bornée dans
(G � ) On vérifiera à titre d'exercice qu'il s'agit bien d'une norme. On pourra remarquer que
la somme est finie car un polynôme de degré n à toutes ses dérivées d'ordre strictement
supérieur à n qui sont nulles. Les conditions 1, 3 et 4 de la définition 7.3 résultent
directement des propriétés de la valeur absolue et de la borne supérieure. Pour établir la
deuxième condition, on remarquera que si P est un polynôme de degré n tel que N(P) = 0
alors pour tout k E {O, ... , n} on a p(k) (0) = 0 ce qui signifie, voir la proposition 6.8
p. 244 du Cours de prnmière année, que 0 est racine de multiplicité n + 1 de P. Comme
un polynôme de degré n qui est non nul admet au plus n racines, on en conclut que P
est le polynôme nul.