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Suites dans un espace métrique
Exercice 7 .11
1 - a) Soit Un )n une suite dans C 0 ([a, b] , IR). Montrer que si la suite Un )n
converge uniformément vers f alors elle converge vers f dans C 0 ([a, b], IR)
muni de la distance d 2 subordonnée à la norme de la convergence quadra•
c62> L , .
t 11
.
?
t i que . a rec i proque es -e e vra i e .
b) Nous avons établi, voir le théorème 2.1 p. 78, qu'une suite de fonctions convergeant uniformément sur un intervalle [a, b] convergeait simplement sur cet intervalle. Montrer, en trouvant un contre-exemple, que la
convergence d'une suite de fonctions dans (C 0 ([a, b] , IR), d 2 ) n'implique pas
nécessairement la convergence simple de la suite sur [a, b].
2 - Montrer que si une suite Un )n converge dans (C 0 ([a, b], IR), d 2 ) alors elle
converge aussi dans (C 0 ([a, b] , JR), di ) où di est la distance subordonnée à la
norme de la convergence en moyenne <62> . La réciproque est-elle vraie?
Remarques
1. Par le même procédé que celui qui nous a permis d'introduire la notion de
série numérique à partir de celle de suite numérique, on peut définir des séries
dans un espace métrique.
2. Soient (Ei , di ), ... , (Ep, dp) des espaces métriques et (E, d) l'espace produit,
voir p. 356. La suite (xn)n de terme général Xn = (x� 1 ) , . .. , x� ) ) converge vers
f, = (f( l l, ... ,f
o
Nous allons voir dans ce qui suit qu'un certain nombre de notions vues dans
la cadre des suites numériques c63> se généralisent aux suites dans un espace
métrique (E, d) . On sera vigilant au fait que certaines des propriétés des
suites numériques ne se généralisent pas aux suites dans un espace métrique.
C'est en particulier le cas de la notion de suite monotone qui ne peut être
définie que si E peut être muni d'une relation d'ordre total c64> .
DÉFINITION 7.17 Soient (E, d) un espace métrique et (xn)n une suite d'éléments de E. La suite (xn)n est dite bornée dans (E, d) si
3e E E 3K E IR� '<:/n EN d(xn , e) � K.
<52> Voir la proposition 7.6 p. 368.
<53>
voir le Cou1·s de première année, chap. 5.
<54> voir la définition 3.2 p. 89.
Suites dans un espace métrique
Exercice 7 .11
1 - a) Soit Un )n une suite dans C 0 ([a, b] , IR). Montrer que si la suite Un )n
converge uniformément vers f alors elle converge vers f dans C 0 ([a, b], IR)
muni de la distance d 2 subordonnée à la norme de la convergence quadra•
c62> L , .
t 11
.
?
t i que . a rec i proque es -e e vra i e .
b) Nous avons établi, voir le théorème 2.1 p. 78, qu'une suite de fonctions convergeant uniformément sur un intervalle [a, b] convergeait simplement sur cet intervalle. Montrer, en trouvant un contre-exemple, que la
convergence d'une suite de fonctions dans (C 0 ([a, b] , IR), d 2 ) n'implique pas
nécessairement la convergence simple de la suite sur [a, b].
2 - Montrer que si une suite Un )n converge dans (C 0 ([a, b], IR), d 2 ) alors elle
converge aussi dans (C 0 ([a, b] , JR), di ) où di est la distance subordonnée à la
norme de la convergence en moyenne <62> . La réciproque est-elle vraie?
Remarques
1. Par le même procédé que celui qui nous a permis d'introduire la notion de
série numérique à partir de celle de suite numérique, on peut définir des séries
dans un espace métrique.
2. Soient (Ei , di ), ... , (Ep, dp) des espaces métriques et (E, d) l'espace produit,
voir p. 356. La suite (xn)n de terme général Xn = (x� 1 ) , . .. , x� ) ) converge vers
f, = (f( l l, ... ,f
o
Nous allons voir dans ce qui suit qu'un certain nombre de notions vues dans
la cadre des suites numériques c63> se généralisent aux suites dans un espace
métrique (E, d) . On sera vigilant au fait que certaines des propriétés des
suites numériques ne se généralisent pas aux suites dans un espace métrique.
C'est en particulier le cas de la notion de suite monotone qui ne peut être
définie que si E peut être muni d'une relation d'ordre total c64> .
DÉFINITION 7.17 Soient (E, d) un espace métrique et (xn)n une suite d'éléments de E. La suite (xn)n est dite bornée dans (E, d) si
3e E E 3K E IR� '<:/n EN d(xn , e) � K.
<52> Voir la proposition 7.6 p. 368.
<53>
voir le Cou1·s de première année, chap. 5.
<54> voir la définition 3.2 p. 89.