Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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Fig. 10 Représentation graphique des premiers termes de la
suite (f n)n.
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La suite (xn)n convergeant dans (E, d) vers f on a limn-.+oo d(xn, f) = 0 d'où
par le théorème d'encadrement : limn-.+oo 8(xn , f) =O. La suite (xn)n converge
donc vers f dans ( E, 8).
0
1 Si d et 8 sont deux distances sur E qui ne sont pas équivalentes alors
une suite (xn)n peut être de nature différente dans (E, d) et dans (E, 8).
L'exemple suivant illustre cette mise en garde.
Exemple Considérons dans c0 ([o , 1) , fit) la suite Un)n de terme général :
f n : x E [O, 1] � { � Vn (nx - 1)
-2/n(nx - 2)
si x E [0, �] U [� , l]
si XE ].!. .l_[
n ' 2 n
si X Ej.l_ 1(
2 n 1 n
Cette suite de fonction converge simplement vers la fonction nulle, voir la figure 10. Munissons C0 ([o , 1] , fit) des distances subordonnées aux 3 normes définies à la proposition 7.6. Pour tout n EN avec n;;:: 2, on a
- d i Un, 0) = Il i n ll1 = 2 _/n ce qui implique que dans (C0 ([0, 1] , fit), di) la suite
Un)n converge vers la fonction nulle ;
- d 2 ( Jn , 0) = llfn ll 2 = � ce qui implique que dans (C0 ([0, 1] , fit), dz) la suite
Un)n ne converge pas vers la fonction nulle ;
- doo ( J n , 0) = llfn lloo = fa ce qui implique que dans (C0 ([0, 1] , fit), d00) la
suite Un)n ne converge pas non plus vers la fonction nulle.