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Suites dans un espace métrique
car pour tout n E N*
1
d(Pn , Üoc[xj ) = sup J Pn(x) I = - d'où
xE (- 1,1)
n
lim d(Pn ,ÛJK[Xj) = 0
n---+ O
3. La suite de fonctions (fn )n de terme général fn : x E [O, 1] � x n converge
simplement vers la fonction qui prend la valeur 0 sur [O, 1[ et la valeur 1 en 1.
Dans c0 ([0, 1], IR) muni de la distance subordonnée à la norme de la convergence
uniforme Noo : f E C0 ([0, 1] , .IR) � SUPxE[ 0 , 1) l f(x)I la suite Un )n diverge.
En effet, cette suite de fonctions continues convergeant simplement vers une
fonction qui n'est pas continue, d'après le théorème 2.3 p. 86 il ne peut y avoir
convergence uniforme. Dans C0 ([0, 1], IR) muni de la distance d 1 subordonnée à
la norme de la convergence en moyenne Ni : f E C0 ([ 0, 1] , .IR)� f 0
1 lf(x)I dx la
suite (f n)n converge vers la fonction nulle car pour tout n E N
1
1
1
di(fn, 0) = lfn (x) I dx = - 1
o
n+
d'où
PROPOSITION 7.13 Si une suite de l'espace métrique (E, d) converge alors
la limite de cette suite est unique.
Démonstration Raisonnons par l'absurde et supposons que la suite (xn) n
converge dans ( E, d) et admet deux limites f 1 et f 2 distinctes. On a d( f 1, f 2 ) # 0
et le réel é = !d (f 2 ,fi) est strictement positif. On déduit de la définition 7.16
que
3771 EN Yn EN (n � 771 ===? d(xn ,f 1 ) � é )
et
377 2 EN Yn EN (n � 77 2 ===? d(xn,f 2 ) � c ) .
Notons 77 = max{ 77i, 77 2 }. En utilisant la quatrième propriété de la définition 7.1,
on obtient
d(f 2 , fi) � d(f 2 , x11) + d(x11, f1) � 2c = �d(f 2 , f1)
ce qui est absurde puisque 1 > 2/3. On en conclut que si la suite (xn)n converge
dans (E, d), sa limite est unique.
D
LEMME 7.2 Si ô est une distance sur E équivalente à une distance d alors
toute suite convergeant dans (E, d) converge aussi dans (E, 8) et admet la
même limite.
Démonstration Pour établir ce résultat, considérons une suite (xn)n convergeant dans (E, d) vers f. Si la distance ô est équivalente à la distance d alors il
existe (C 1, C 2 ) E (IR+ ) 2 tel que pour tout n EN on ait :
Suites dans un espace métrique
car pour tout n E N*
1
d(Pn , Üoc[xj ) = sup J Pn(x) I = - d'où
xE (- 1,1)
n
lim d(Pn ,ÛJK[Xj) = 0
n---+ O
3. La suite de fonctions (fn )n de terme général fn : x E [O, 1] � x n converge
simplement vers la fonction qui prend la valeur 0 sur [O, 1[ et la valeur 1 en 1.
Dans c0 ([0, 1], IR) muni de la distance subordonnée à la norme de la convergence
uniforme Noo : f E C0 ([0, 1] , .IR) � SUPxE[ 0 , 1) l f(x)I la suite Un )n diverge.
En effet, cette suite de fonctions continues convergeant simplement vers une
fonction qui n'est pas continue, d'après le théorème 2.3 p. 86 il ne peut y avoir
convergence uniforme. Dans C0 ([0, 1], IR) muni de la distance d 1 subordonnée à
la norme de la convergence en moyenne Ni : f E C0 ([ 0, 1] , .IR)� f 0
1 lf(x)I dx la
suite (f n)n converge vers la fonction nulle car pour tout n E N
1
1
1
di(fn, 0) = lfn (x) I dx = - 1
o
n+
d'où
PROPOSITION 7.13 Si une suite de l'espace métrique (E, d) converge alors
la limite de cette suite est unique.
Démonstration Raisonnons par l'absurde et supposons que la suite (xn) n
converge dans ( E, d) et admet deux limites f 1 et f 2 distinctes. On a d( f 1, f 2 ) # 0
et le réel é = !d (f 2 ,fi) est strictement positif. On déduit de la définition 7.16
que
3771 EN Yn EN (n � 771 ===? d(xn ,f 1 ) � é )
et
377 2 EN Yn EN (n � 77 2 ===? d(xn,f 2 ) � c ) .
Notons 77 = max{ 77i, 77 2 }. En utilisant la quatrième propriété de la définition 7.1,
on obtient
d(f 2 , fi) � d(f 2 , x11) + d(x11, f1) � 2c = �d(f 2 , f1)
ce qui est absurde puisque 1 > 2/3. On en conclut que si la suite (xn)n converge
dans (E, d), sa limite est unique.
D
LEMME 7.2 Si ô est une distance sur E équivalente à une distance d alors
toute suite convergeant dans (E, d) converge aussi dans (E, 8) et admet la
même limite.
Démonstration Pour établir ce résultat, considérons une suite (xn)n convergeant dans (E, d) vers f. Si la distance ô est équivalente à la distance d alors il
existe (C 1, C 2 ) E (IR+ ) 2 tel que pour tout n EN on ait :